Многозначные числа и величины
Переходим к числам до миллиона, связываем единицы измерения и решаем задачи с долями величин.
Результат модуля
Что вы научитесь делать
- читать, записывать, сравнивать и округлять числа до миллиона
- преобразовывать составные величины в единую систему единиц
- решать задачи на долю величины и величину по её доле
числа до миллиона
Классы и разряды больших чисел
Разряды многозначного числа объединяют по три в классы: единицы, тысячи и миллионы. Число 407 025 читается по классам: четыреста семь тысяч двадцать пять. При округлении смотрят на цифру следующего разряда: 5–9 увеличивают сохраняемую цифру на один, 0–4 оставляют её без изменения.
Числа сравнивают сначала по количеству цифр, затем по цифрам слева направо; при округлении отброшенные цифры заменяют нулями.
Разбираемся глубже
Классы помогают читать большие числа
Справа налево цифры объединяют по три в классы единиц и тысяч. Число 482 306 читают как 482 тысячи 306 единиц; пробел между классами помогает не перепутать разряды.
Округление заменяет точное число ближайшим разрядным. Цифра сразу справа от выбранного разряда решает, увеличивать ли сохраняемую цифру; результат должен быть близок к исходному числу.
После округления можно назвать границы исходных чисел. До тысяч округляются числа из определённого промежутка, поэтому результат сообщает порядок величины, но уже не хранит точные сотни, десятки и единицы.
Алгоритм
Как действовать
- разделить запись числа на классы справа налево по три цифры
- назвать разряды и разложить число на разрядные слагаемые
- для сравнения найти первую различающуюся цифру слева
- для округления проверить цифру сразу после выбранного разряда
Разбор
Примеры по шагам
Разложите число 583 046 на разрядные слагаемые.
- В числе 5 сотен тысяч, 8 десятков тысяч, 3 тысячи, 0 сотен, 4 десятка и 6 единиц.
- Нулевой разряд можно не писать отдельным слагаемым.
- Получаем 500 000 + 80 000 + 3 000 + 40 + 6.
Ответ: 500 000 + 80 000 + 3 000 + 40 + 6
Округлите 267 481 до тысяч.
- Сохраняем разряд тысяч: цифру 7.
- Следующая цифра сотен равна 4, поэтому 7 не увеличиваем.
- Заменяем сотни, десятки и единицы нулями.
Ответ: 267 000
Тренировка без вариантов
Попробуйте сами
Задание 1.1: Округлите число 684 392 до десятков тысяч и назовите разряд, по которому приняли решение.
Подсказка: Сохраните цифру десятков тысяч и посмотрите на цифру тысяч справа от неё.
Ответ и самопроверка: Цифра тысяч равна 4, поэтому не увеличиваем 8: получаем 680 000.
Задание 1.2: Назовите предыдущее и следующее числа для 500 000 и объясните переход через границу класса.
Подсказка: Вычтите и прибавьте единицу, сохраняя все разряды записи.
Ответ и самопроверка: Предыдущее число 499 999, следующее — 500 001.
Типичные ошибки
- читать число по отдельным цифрам вместо классов
- удалять внутренние нули и менять разрядный состав
- смотреть при округлении не на соседнюю справа цифру
система единиц
Связи между единицами измерения
Одну величину можно записать разными единицами: 2 км 350 м и 2350 м обозначают одну длину. Для вычислений составные величины часто переводят в меньшую общую единицу. Нужно помнить, что коэффициенты перехода различаются: в километре 1000 метров, а в часе 60 минут.
Складывать и вычитать именованные величины можно после приведения одинаковых частей к общей единице.
Разбираемся глубже
Составная запись и единая мерка
Запись 3 км 250 м состоит из двух частей одной длины. Для вычислений её можно перевести в метры: 3 000 м + 250 м, а затем при необходимости снова выделить километры.
Коэффициенты перевода зависят от величины: в километре 1 000 метров, в часе 60 минут, в тонне 1 000 килограммов. Один и тот же механический множитель применять ко всем единицам нельзя.
При сложении составных величин может потребоваться обмен: 80 минут превращаются в 1 час 20 минут, а 1 250 метров — в 1 километр 250 метров. Такой перенос похож на обмен между разрядами числа.
Алгоритм
Как действовать
- определить вид величины и записанные единицы
- выбрать одну общую единицу для вычисления
- выполнить преобразование по точному соотношению
- вычислить и при необходимости вернуть составную запись
Разбор
Примеры по шагам
Вычислите 3 км 240 м + 1 км 875 м.
- Переводим в метры: 3240 м + 1875 м.
- Получаем 5115 м.
- Это 5 км 115 м.
Ответ: 5 км 115 м
Сколько минут в 2 ч 35 мин?
- Два часа — это 2 · 60 = 120 минут.
- 120 + 35 = 155 минут.
Ответ: 155 минут
Тренировка без вариантов
Попробуйте сами
Задание 2.1: Вычислите 5 км 80 м − 2 км 650 м, предварительно переведя длины в метры.
Подсказка: Пять километров — 5 000 метров; после вычитания снова выделите километры.
Ответ и самопроверка: 5 080 − 2 650 = 2 430 м, то есть 2 км 430 м.
Задание 2.2: Сложите 3 часа 45 минут и 1 час 35 минут, выполнив обмен минут на часы.
Подсказка: Сначала сложите минуты; каждые 60 минут образуют один час.
Ответ и самопроверка: 45 + 35 = 80 мин = 1 ч 20 мин; всего 5 ч 20 мин.
Типичные ошибки
- использовать коэффициент 100 для всех переходов между единицами
- складывать километры прямо с метрами как обычные числа
- после преобразования оставлять старое обозначение единицы
доли и величины
Несколько долей величины
Чтобы найти несколько одинаковых долей величины, сначала находят одну долю делением, а затем умножают её на число взятых долей. По известной части целое восстанавливают в обратном порядке.
m/n величины a находят так: a : n · m; деление выполняют до умножения слева направо.
Разбираемся глубже
Числитель считает выбранные доли
Знаменатель n показывает, на сколько равных частей разделено целое, а числитель m — сколько таких частей берут. Поэтому в записи 3/8 сначала находят одну восьмую, затем берут её три раза.
При восстановлении целого по нескольким долям сначала находят одну долю делением известной части на числитель, а затем умножают на знаменатель. Это обратная последовательность действий.
Если берут правильную дробь величины, результат меньше исходного целого. Оценка через половину помогает проверке: пять восьмых немного больше половины, но всё ещё меньше всего целого.
Алгоритм
Как действовать
- определить, на сколько равных частей разделено целое
- найти одну долю делением на знаменатель
- умножить одну долю на число выбранных частей
- проверить, не превышает ли часть целое, если m не больше n
Разбор
Примеры по шагам
Найдите три четверти от 28 кг.
- Одна четверть: 28 : 4 = 7 кг.
- Три четверти: 7 · 3 = 21 кг.
Ответ: 21 кг
Две пятых пути равны 18 км. Найдите весь путь.
- Одна пятая равна 18 : 2 = 9 км.
- Пять пятых: 9 · 5 = 45 км.
Ответ: 45 км
Тренировка без вариантов
Попробуйте сами
Задание 3.1: Найдите пять восьмых от 64 и проверьте результат через величину одной восьмой.
Подсказка: Разделите 64 на знаменатель 8, затем умножьте одну долю на числитель 5.
Ответ и самопроверка: 64 : 8 = 8; 8 · 5 = 40. Одна восьмая равна 8, пять таких долей равны 40.
Задание 3.2: Найдите три седьмых от 70 и проверьте ответ размером одной седьмой.
Подсказка: Сначала разделите 70 на 7, затем возьмите три одинаковые доли.
Ответ и самопроверка: 70 : 7 = 10; 10 · 3 = 30. Три доли по 10 дают 30.
Типичные ошибки
- умножать целое на знаменатель вместо деления
- находить несколько долей, но забывать умножить одну долю на числитель
- складывать числитель и знаменатель
Словарь
Опорные понятия
- класс числа
- группа из трёх соседних разрядов
- округление
- замена числа близким числом с нулями в младших разрядах
- составная величина
- величина, записанная несколькими единицами, например 2 ч 15 мин
- числитель
- число, показывающее, сколько долей взято
Закрепление материала
Мини-тест
Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.
Первоисточники
Откуда взято содержание программы
Объяснения и задания написаны Умбликом, а границы модуля сверены с федеральной рабочей программой. Последовательность тем в школе может отличаться.