УмбликМатематика
К маршруту 4 класса
Математика4 классБазовый курс 2–3 занятияНагрузка предмета в 4 классе: 136 ч, 4 ч/нед.3 подробных разборов9 тестовых + 6 открытых заданий

Арифметические алгоритмы

Выполняем действия с многозначными числами, вычисляем выражения и решаем первые уравнения.

Модуль школьной программы

Результат модуля

Что вы научитесь делать

  • выполнять письменные действия с многозначными числами
  • находить значение выражения в установленном порядке
  • решать и проверять простейшие уравнения
1

действия с многозначными числами

Письменные вычисления без потери разрядов

Алгоритмы письменных действий позволяют работать с большими числами поразрядно. При умножении на двузначное число находят два неполных произведения, второе начинают с разряда десятков. При делении каждую цифру частного проверяют умножением и вычитанием остатка.

Опорная идея

Разряды записывают строго друг под другом; остаток при делении всегда меньше делителя.

Разбираемся глубже

Каждый шаг сохраняет разрядное значение

При письменных действиях цифры выравнивают по разрядам, чтобы складывать или вычитать единицы с единицами, десятки с десятками. Перенос в соседний разряд означает обмен десяти единиц одного разряда на одну единицу следующего.

До точного вычисления полезно оценить порядок результата округлением, а после — применить обратное действие. Например, частное умножают на делитель и добавляют остаток, если он был.

Ноль в середине частного нельзя пропускать: он удерживает разряд так же, как в записи исходного числа. После выбора очередной цифры частного остаток должен быть меньше делителя; затем к остатку сносят следующую цифру делимого.

Алгоритм

Как действовать

  1. оценить примерный размер ответа
  2. записать числа по разрядам
  3. выполнить алгоритм действия от нужного разряда
  4. проверить обратным действием и сравнением с оценкой

Разбор

Примеры по шагам

Пример 1.1

Вычислите 326 · 24.

  1. Первое неполное произведение: 326 · 4 = 1304.
  2. Второе: 326 · 20 = 6520.
  3. Складываем: 1304 + 6520 = 7824.

Ответ: 7824

Пример 1.2

Разделите 4 536 на 7.

  1. 45 : 7 = 6, остаток 3; сносим 3 и получаем 33.
  2. 33 : 7 = 4, остаток 5; сносим 6 и получаем 56.
  3. 56 : 7 = 8; частное 648. Проверка: 648 · 7 = 4536.

Ответ: 648

Тренировка без вариантов

Попробуйте сами

Задание 1.1: Разделите 7 308 на 6 письменно и проверьте частное умножением.

Подсказка: Делите слева направо, каждый раз снося следующую цифру; ноль внутри числа не пропускайте.

Ответ и самопроверка: 7 308 : 6 = 1 218; проверка: 1 218 · 6 = 7 308.

Задание 1.2: Выполните деление 9 024 : 8 и проверьте результат умножением.

Подсказка: Двигайтесь по разрядам слева направо и сохраните ноль, если он появляется в частном.

Ответ и самопроверка: 9 024 : 8 = 1 128; проверка: 1 128 · 8 = 9 024.

Типичные ошибки

  • сдвигать второе неполное произведение не на тот разряд
  • терять ноль в частном
  • оставлять остаток, равный или больший делителя
2

выражения

Порядок действий и удобные преобразования

Числовое выражение задаёт план вычислений. Скобки меняют обычный порядок действий. Свойства сложения и умножения позволяют группировать числа удобнее, не меняя значения выражения.

Опорная идея

Сначала выполняют скобки, затем умножение и деление слева направо, после них сложение и вычитание слева направо.

Разбираемся глубже

Свойства действий сокращают вычисления

Слагаемые можно переставлять и группировать, чтобы получать круглые числа. В сумме 27 + 146 + 73 удобно сначала соединить 27 и 73, потому что их сумма равна 100.

Распределительное свойство связывает умножение со сложением: a · (b + c) = a · b + a · c. Оно позволяет раскладывать трудный множитель на удобные части без изменения значения выражения.

Любое преобразование должно сохранять значение исходного выражения. После удобной группировки результат можно проверить вычислением в первоначальном порядке или приблизительной оценкой.

Алгоритм

Как действовать

  1. расставить номера действий над выражением
  2. заметить возможные удобные группировки
  3. вычислять по одному шагу и записывать промежуточные результаты
  4. проверить ответ оценкой или другим способом

Разбор

Примеры по шагам

Пример 2.1

Вычислите 125 · 8 + 360 : 6.

  1. Умножение: 125 · 8 = 1000.
  2. Деление: 360 : 6 = 60.
  3. Сложение: 1000 + 60 = 1060.

Ответ: 1060

Пример 2.2

Вычислите удобно: 27 + 146 + 73.

  1. Группируем 27 и 73: их сумма равна 100.
  2. 100 + 146 = 246.

Ответ: 246

Тренировка без вариантов

Попробуйте сами

Задание 2.1: Вычислите удобным способом 125 · 16, разложив второй множитель на удобные множители.

Подсказка: Представьте 16 как 8 · 2 и сначала умножьте 125 на 8.

Ответ и самопроверка: 125 · 16 = 125 · 8 · 2 = 1 000 · 2 = 2 000.

Задание 2.2: Вычислите удобным способом 48 · 25, сгруппировав множители для получения сотни.

Подсказка: Представьте 48 как 12 · 4 и соедините 4 с 25.

Ответ и самопроверка: 48 · 25 = 12 · 4 · 25 = 12 · 100 = 1 200.

Типичные ошибки

  • выполнять все действия только слева направо, не учитывая приоритет
  • игнорировать скобки
  • менять порядок при вычитании как при сложении
3

простейшие уравнения

Равенство с неизвестным

Уравнение — равенство с неизвестным числом. Решить уравнение значит найти все значения неизвестного, при которых равенство верно. Правила поиска компонентов действий дают способ решения, а подстановка — обязательную проверку.

Опорная идея

Неизвестный компонент находят обратным действием: слагаемое — вычитанием, множитель — делением, уменьшаемое — сложением, делимое — умножением.

Разбираемся глубже

Уравнение сохраняет равенство

Левая и правая части уравнения обозначают одно значение. Чтобы оставить неизвестное отдельно, выполняют обратное действие, которое отменяет известную операцию и сохраняет исходную связь.

Проверка подстановкой обязательна: найденное число ставят вместо буквы и вычисляют обе части. Совпадение значений доказывает, что число является корнем данного уравнения.

Уравнение часто является краткой моделью задачи. Буква обозначает конкретную неизвестную величину, поэтому после решения числовой корень нужно вернуть в сюжет и снабдить нужной единицей.

Алгоритм

Как действовать

  1. назвать неизвестный компонент
  2. выбрать правило его нахождения
  3. выполнить обратное действие
  4. подставить корень в исходное уравнение

Разбор

Примеры по шагам

Пример 3.1

Решите уравнение x − 275 = 468.

  1. x — неизвестное уменьшаемое.
  2. К разности прибавляем вычитаемое: 468 + 275 = 743.
  3. Проверка: 743 − 275 = 468.

Ответ: x = 743

Пример 3.2

Решите уравнение 936 : y = 12.

  1. y — неизвестный делитель.
  2. Делим делимое на частное: 936 : 12 = 78.
  3. Проверка: 936 : 78 = 12.

Ответ: y = 78

Тренировка без вариантов

Попробуйте сами

Задание 3.1: Решите уравнение x − 145 = 380 и проверьте найденный корень.

Подсказка: Неизвестное уменьшаемое находят сложением разности и вычитаемого.

Ответ и самопроверка: x = 380 + 145 = 525; проверка: 525 − 145 = 380.

Задание 3.2: Решите уравнение 8 · x = 672 и выполните проверку исходным действием.

Подсказка: Неизвестный множитель равен произведению, делённому на известный множитель.

Ответ и самопроверка: x = 672 : 8 = 84; проверка: 8 · 84 = 672.

Типичные ошибки

  • называть найденное число ответом без проверки
  • путать правила для делимого и делителя
  • выполнять действие только с одной частью равенства наугад

Словарь

Опорные понятия

неполное произведение
промежуточный результат при письменном умножении
выражение
запись из чисел, знаков действий и, возможно, скобок
уравнение
равенство с неизвестным числом
корень уравнения
значение неизвестного, при котором равенство верно

Закрепление материала

Мини-тест

Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.

  1. Задание 1
    Чему равно 2 405 + 786?
  2. Задание 2
    Чему равно 208 · 30?
  3. Задание 3
    Каким должен быть остаток при делении на 9?
  4. Задание 4
    Чему равно 40 + 6 · 7?
  5. Задание 5
    Какое действие первое в (90 − 18) : 8?
  6. Задание 6
    Как удобно сгруппировать 38 + 57 + 62?
  7. Задание 7
    Решите x + 189 = 500.
  8. Задание 8
    Решите 24 · x = 168.
  9. Задание 9
    Что доказывает проверка корня?

Первоисточники

Откуда взято содержание программы

Объяснения и задания написаны Умбликом, а границы модуля сверены с федеральной рабочей программой. Последовательность тем в школе может отличаться.