Задачи на зависимости
Исследуем, как связаны скорость, время и расстояние, производительность и работа, цена и стоимость.
Результат модуля
Что вы научитесь делать
- решать задачи на движение с постоянной скоростью
- решать задачи на работу и производительность
- распознавать пропорциональные зависимости в задачах о покупках
движение
Скорость, время и расстояние
Скорость показывает, какое расстояние объект проходит за единицу времени. При постоянной скорости расстояние прямо зависит от времени. Важно согласовать единицы: километры в час сочетаются с часами, метры в минуту — с минутами.
S = v · t, v = S : t, t = S : v, где S — расстояние, v — скорость, t — время.
Разбираемся глубже
Скорость связывает расстояние со временем
Скорость 60 км/ч означает, что за каждый час равномерного движения проходит 60 километров. Поэтому за несколько одинаковых часов расстояние состоит из равных участков и находится умножением.
Единицы должны быть согласованы: скорость в километрах в час требует времени в часах и даёт расстояние в километрах. Минуты перед подстановкой переводят в часть часа или выбирают другую единицу скорости.
При движении навстречу расстояние между участниками за каждый час уменьшается на сумму их скоростей. Такая скорость сближения позволяет найти общий пройденный путь до встречи.
Алгоритм
Как действовать
- выписать известные скорость, время и расстояние
- привести единицы времени и расстояния к согласованному виду
- выбрать формулу по неизвестной величине
- вычислить и проверить смысл результата
Разбор
Примеры по шагам
Велосипедист ехал 3 часа со скоростью 14 км/ч. Какое расстояние он проехал?
- Известны скорость и время, ищем расстояние.
- S = 14 · 3 = 42 км.
Ответ: 42 км
Автомобиль проехал 360 км за 4 часа. Найдите скорость.
- Скорость равна расстоянию, делённому на время.
- v = 360 : 4 = 90 км/ч.
Ответ: 90 км/ч
Тренировка без вариантов
Попробуйте сами
Задание 1.1: Автобус ехал 3 часа со скоростью 72 км/ч. Какое расстояние он прошёл?
Подсказка: При постоянной скорости умножьте путь за один час на число часов.
Ответ и самопроверка: S = 72 · 3 = 216 км.
Задание 1.2: Два пешехода идут навстречу со скоростями 4 и 5 км/ч. На сколько километров они сблизятся за 3 часа?
Подсказка: За час расстояние уменьшается на сумму скоростей обоих пешеходов.
Ответ и самопроверка: (4 + 5) · 3 = 27 км — расстояние сближения за три часа.
Типичные ошибки
- складывать скорость и время
- умножать расстояние на время при поиске скорости
- использовать минуты вместе с километрами в час без преобразования
работа
Производительность и выполненная работа
Производительность показывает, сколько изделий или единиц работы выполняют за единицу времени. При постоянной производительности общий объём работы находят умножением на время. Эта связь устроена так же, как связь скорости, времени и расстояния.
A = p · t, p = A : t, t = A : p, где A — работа, p — производительность, t — время.
Разбираемся глубже
Производительность — работа за единицу времени
Производительность 18 деталей в час означает одинаковую работу в каждый час при неизменном темпе. За t часов складываются t равных порций работы, поэтому A = p · t.
В ответе важно сохранять единицы: детали, страницы или метры дороги за час. Если время дано в днях, а производительность — за час, сначала требуется привести время к часам.
При совместной работе за единицу времени складывают результаты исполнителей, если они выполняют части одной работы независимо. Затем общую производительность умножают на продолжительность.
Алгоритм
Как действовать
- определить объём работы за одну единицу времени
- выписать время и общий объём
- выбрать формулу для неизвестной величины
- проверить ответ обратным действием
Разбор
Примеры по шагам
Станок делает 35 деталей в час. Сколько деталей он сделает за 6 часов?
- Производительность постоянна: 35 деталей в час.
- A = 35 · 6 = 210 деталей.
Ответ: 210 деталей
Мастер изготовил 144 детали за 8 часов. Найдите его производительность.
- Делим весь объём работы на время.
- p = 144 : 8 = 18 деталей в час.
Ответ: 18 деталей в час
Тренировка без вариантов
Попробуйте сами
Задание 2.1: Принтер печатает 25 страниц в минуту. Сколько страниц он напечатает за 8 минут?
Подсказка: Умножьте производительность за одну минуту на число минут.
Ответ и самопроверка: A = 25 · 8 = 200 страниц.
Задание 2.2: Две бригады делают 7 и 5 деталей в день. Сколько деталей они сделают вместе за 6 дней?
Подсказка: Сначала сложите дневную производительность, затем умножьте на число дней.
Ответ и самопроверка: (7 + 5) · 6 = 12 · 6 = 72 детали.
Типичные ошибки
- путать общий объём с работой за один час
- складывать производительность и время
- считать производительность постоянной, если условие говорит о её изменении
стоимость и пропорциональные зависимости
Как меняется стоимость
При постоянной цене общая стоимость прямо пропорциональна количеству: если товаров в два раза больше, стоимость тоже в два раза больше. Таблица помогает увидеть единичное значение и перейти от него к новому количеству.
При постоянной цене C = p · n; отношение стоимости к количеству одинаково и равно цене одной единицы.
Разбираемся глубже
Прямая пропорциональность через единицу
Если цена товара не меняется, удвоение количества удваивает стоимость, а увеличение количества в пять раз увеличивает стоимость в пять раз. Отношение стоимости к количеству остаётся постоянным.
Метод приведения к единице работает в два шага: сначала по известной покупке находят цену одного килограмма или предмета, затем умножают её на новое количество.
Постоянство цены нужно явно проверить по условию. Скидка, другая упаковка или оптовая цена нарушают простую пропорцию, и тогда прежнюю цену единицы применять нельзя.
Алгоритм
Как действовать
- проверить, что цена одной единицы не меняется
- найти цену единицы делением, если она не дана
- умножить цену на новое количество
- сравнить, во сколько раз изменились количество и стоимость
Разбор
Примеры по шагам
Четыре блокнота стоят 280 рублей. Сколько стоят 7 таких блокнотов?
- Цена одного блокнота: 280 : 4 = 70 рублей.
- Стоимость семи: 70 · 7 = 490 рублей.
Ответ: 490 рублей
За 3 кг яблок заплатили 240 рублей. Сколько килограммов можно купить на 400 рублей по той же цене?
- Цена килограмма: 240 : 3 = 80 рублей.
- Количество: 400 : 80 = 5 кг.
Ответ: 5 кг
Тренировка без вариантов
Попробуйте сами
Задание 3.1: Шесть килограммов яблок стоят 480 рублей. Сколько стоят 10 кг по той же цене?
Подсказка: Сначала найдите цену одного килограмма, затем стоимость десяти.
Ответ и самопроверка: 480 : 6 = 80 руб./кг; 80 · 10 = 800 рублей.
Задание 3.2: Четыре одинаковые ручки стоят 180 рублей. Сколько стоят семь таких ручек по той же цене?
Подсказка: Найдите стоимость одной ручки, затем умножьте её на семь.
Ответ и самопроверка: 180 : 4 = 45 рублей; 45 · 7 = 315 рублей.
Типичные ошибки
- считать зависимость пропорциональной при изменившейся цене
- умножать общую стоимость на новое количество без поиска цены единицы
- сравнивать количества и стоимости разными коэффициентами при постоянной цене
Словарь
Опорные понятия
- скорость
- расстояние, пройденное за единицу времени
- производительность
- объём работы, выполненный за единицу времени
- прямая пропорциональность
- зависимость, при которой обе величины изменяются в одинаковое число раз
- единичное значение
- значение величины, приходящееся на одну единицу
Закрепление материала
Мини-тест
Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.
Первоисточники
Откуда взято содержание программы
Объяснения и задания написаны Умбликом, а границы модуля сверены с федеральной рабочей программой. Последовательность тем в школе может отличаться.