Составные задачи
Связываем несколько шагов решения и выбираем модель, которая делает условие понятным.
Результат модуля
Что вы научитесь делать
- решать задачи на цену, количество и стоимость
- планировать последовательность нескольких действий
- выбирать таблицу, схему или выражение как модель задачи
цена, количество, стоимость
Покупка как произведение
Цена показывает стоимость одной единицы товара, количество — сколько единиц купили, а стоимость — сколько заплатили за всё. Эти три величины связаны умножением и делением.
Стоимость = цена · количество; цена = стоимость : количество; количество = стоимость : цена.
Разбираемся глубже
Три величины одной покупки
Цена относится к одной единице товара, количество показывает число единиц, а стоимость — цену всей покупки. Единицы помогают читать формулу: руб./шт. · шт. дают рубли.
Если цена постоянна, стоимость растёт во столько же раз, во сколько увеличивается количество. Таблица с тремя столбцами помогает не перепутать цену одного предмета с общей суммой.
Проверить ответ можно сравнением: стоимость нескольких одинаковых товаров должна быть больше цены одного товара, а деление общей стоимости на количество должно снова дать исходную цену.
Алгоритм
Как действовать
- определить цену одной единицы и количество
- назвать неизвестную величину
- выбрать одну из трёх связанных формул
- вычислить и проверить единицу ответа
Разбор
Примеры по шагам
Одна тетрадь стоит 18 рублей. Сколько стоят 5 тетрадей?
- Известны цена и количество, ищем стоимость.
- 18 · 5 = 90.
Ответ: 90 рублей
За 6 одинаковых ручек заплатили 144 рубля. Какова цена одной ручки?
- Известны общая стоимость и количество.
- 144 : 6 = 24.
Ответ: 24 рубля
Тренировка без вариантов
Попробуйте сами
Задание 1.1: За 7 одинаковых тетрадей заплатили 245 рублей. Найдите цену одной тетради.
Подсказка: Общую стоимость разделите на количество одинаковых товаров.
Ответ и самопроверка: 245 : 7 = 35 рублей — цена одной тетради.
Задание 1.2: Одна ручка стоит 28 рублей. Найдите стоимость девяти ручек и укажите единицы в вычислении.
Подсказка: Цену одного предмета умножьте на количество предметов.
Ответ и самопроверка: 28 руб./шт. · 9 шт. = 252 рубля.
Типичные ошибки
- складывать цену и количество
- путать цену одного товара с общей стоимостью
- записывать количество в рублях
задачи в несколько действий
Строим план решения
В составной задаче нельзя сразу ответить на главный вопрос: сначала находят промежуточную величину. План объясняет, что узнаём каждым действием и почему этот результат нужен дальше.
Каждое действие должно отвечать на отдельный промежуточный вопрос, а последний результат — на главный вопрос задачи.
Разбираемся глубже
От главного вопроса к промежуточным
Если главный вопрос нельзя решить сразу, нужно определить, какой величины не хватает. Эта величина становится промежуточным вопросом, а ответ на него используется в следующем действии.
План удобно строить от вопроса назад, а вычисления выполнять от данных вперёд. После решения следует подписать смысл каждого результата, чтобы случайно не принять промежуточное число за окончательный ответ.
Некоторые задачи допускают разные планы, ведущие к одному ответу. Сравнение способов полезно: более короткий путь должен сохранять все связи условия и давать тот же проверенный результат.
Алгоритм
Как действовать
- определить главный вопрос
- выяснить, каких данных не хватает для ответа
- сформулировать промежуточный вопрос и найти его результат
- использовать результат в следующем действии и записать полный ответ
Разбор
Примеры по шагам
В трёх коробках по 8 мячей. 5 мячей взяли. Сколько осталось?
- Сначала находим, сколько мячей было: 8 · 3 = 24.
- Затем вычитаем взятые мячи: 24 − 5 = 19.
Ответ: 19 мячей
В саду 4 ряда по 9 яблонь и ещё 7 груш. Сколько всего деревьев?
- Находим число яблонь: 9 · 4 = 36.
- Добавляем груши: 36 + 7 = 43.
Ответ: 43 дерева
Тренировка без вариантов
Попробуйте сами
Задание 2.1: В шести коробках по 8 карандашей и ещё 12 карандашей лежат отдельно. Сколько всего?
Подсказка: Сначала найдите число карандашей в одинаковых коробках, затем добавьте отдельные.
Ответ и самопроверка: 6 · 8 = 48; 48 + 12 = 60 карандашей.
Задание 2.2: На трёх полках по 12 книг, затем 8 книг взяли. Сколько книг осталось?
Подсказка: Сначала найдите общее количество на полках, затем уберите взятую часть.
Ответ и самопроверка: 3 · 12 = 36; 36 − 8 = 28 книг.
Типичные ошибки
- использовать не найденную ещё величину
- складывать все числа из условия без понимания связей
- не пояснять значение промежуточного результата
выбор модели
Схема, таблица или выражение
Модель убирает несущественные детали и показывает математическую связь. Для сравнения удобна схема отрезков, для связанных величин — таблица, для последовательности вычислений — выражение. Одна задача может иметь несколько верных моделей.
Хорошая модель сохраняет все данные, неизвестную величину и связи между ними, но не добавляет сведений от себя.
Разбираемся глубже
Как выбрать вид модели
Отрезочная схема хорошо показывает части и целое, таблица — повторяющиеся наборы связанных величин, а выражение — порядок вычислений. Один и тот же сюжет можно представить несколькими способами.
Модель считается удачной, если по ней можно восстановить ход решения без исходного рассказа. Каждое число должно иметь подпись или понятное место, а знак вопроса — указывать именно искомую величину.
После построения модели её сверяют с условием по пунктам. Если число появилось без основания или какая-то величина осталась без места, модель нужно исправить до начала вычислений.
Алгоритм
Как действовать
- определить, какие величины связаны
- выбрать вид модели под эту связь
- перенести все данные и отметить неизвестное
- сверить модель с каждой фразой условия
Разбор
Примеры по шагам
Какую модель удобно выбрать для задачи о цене 20 рублей, количестве 4 и неизвестной стоимости?
- В задаче связаны цена, количество и стоимость.
- Удобно записать эти три величины в таблице одной строки.
- Из таблицы получаем 20 · 4 = 80.
Ответ: таблица «цена — количество — стоимость»
У Веры 18 книг, у Лены на 5 меньше. Покажите связь выражением.
- Количество книг Лены меньше известного на 5.
- Записываем выражение 18 − 5.
- 18 − 5 = 13.
Ответ: 18 − 5 = 13 книг
Тренировка без вариантов
Попробуйте сами
Задание 3.1: Выберите модель для задачи: 5 пакетов по 4 яблока и ещё 3 яблока. Запишите её выражением.
Подсказка: Равные группы удобно показать умножением, отдельную часть — сложением.
Ответ и самопроверка: Подходит выражение 5 · 4 + 3 = 23 яблока.
Задание 3.2: Запишите выражением модель: в четырёх рядах по 7 стульев, ещё 5 стоят отдельно.
Подсказка: Равные ряды объедините умножением, отдельную группу добавьте.
Ответ и самопроверка: 4 · 7 + 5 = 28 + 5 = 33 стула.
Типичные ошибки
- выбирать модель, которая скрывает важную связь
- добавлять на схему число, которого нет в условии
- считать подробный рисунок обязательным для любой задачи
Словарь
Опорные понятия
- цена
- стоимость одной единицы товара
- стоимость
- сумма денег за всё количество товара
- составная задача
- задача, для решения которой требуется несколько связанных действий
- математическая модель
- схема, таблица или запись, передающая связи задачи
Закрепление материала
Мини-тест
Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.
Первоисточники
Откуда взято содержание программы
Объяснения и задания написаны Умбликом, а границы модуля сверены с федеральной рабочей программой. Последовательность тем в школе может отличаться.