Метод следов, внутреннего проектирования и переноса плоскости · 11 класс

$Умблик показывает математические модели на доске$

Посмотрите на идеюМетод следов, внутреннего проектирования и переноса плоскости

На рисунке правило превращается в модель: отметьте известные элементы, связь между ними и только затем переходите к буквенной записи.

Главная идея

Что нужно понять

Прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться; прямая и плоскость — пересекаться или быть параллельными.

Угол между прямой и плоскостью измеряют углом между прямой и её ортогональной проекцией на эту плоскость.

След секущей плоскости на грани — прямая её пересечения с плоскостью этой грани. Две найденные точки определяют след; его пересечения с рёбрами дают новые вершины сечения.

Если нужные пересечения лежат вне грани, плоскость переносят параллельно или проектируют конфигурацию на удобную грань. После построения результат проверяют: все звенья многоугольника должны последовательно принадлежать граням тела.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Пространственную задачу обычно сводят к плоской: строят сечение, проекцию или перпендикуляр и получают треугольник, где работают знакомые теоремы. Корректность зависит от доказанного взаимного расположения объектов, а не от вида рисунка.

Схема к теме

Алгоритм: Метод следов, внутреннего проектирования и переноса плоскости

1. Найти две — точки секущей плоскости на одной грани и провести её след
2. Продолжить — след до пересечения с рёбрами или перенести его на параллельную грань
3. Обойти соседние — грани, замкнуть многоугольник сечения и проверить каждое звено

Шаги расположены в том порядке, в котором их нужно выполнять. Вывод: Угол между прямой и плоскостью измеряют углом между прямой и её ортогональной проекцией на эту плоскость.

Опорная формула

\alpha\cap\beta=l

Формула словами

Пересечение секущей плоскости альфа и плоскости грани бета является прямой l — следом секущей плоскости на этой грани.

След плоскости α на грани β — их общая прямая l.

Расшифровка

Обозначения и термины

α, β: плоскости
a ∥ α: прямая a параллельна плоскости α
AH ⟂ α: AH — перпендикуляр к плоскости
d(A, α): расстояние от точки A до плоскости α

Алгоритм

Как решать задачи

найти две точки секущей плоскости на одной грани и провести её след
продолжить след до пересечения с рёбрами или перенести его на параллельную грань
обойти соседние грани, замкнуть многоугольник сечения и проверить каждое звено

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Внутри одной грани куба даны две различные точки M и N. Они принадлежат секущей плоскости, отличной от плоскости этой грани. Как начать построение сечения?

Точки M и N принадлежат и секущей плоскости, и плоскости одной грани.
Значит, прямая MN является следом секущей плоскости на этой грани.
Продлеваем MN до пересечения с рёбрами грани — получаем первые вершины сечения.

Ответ: Провести след MN и найти его пересечения с рёбрами

Пример 2

След секущей плоскости не пересекает нужное ребро внутри грани. Что делать?

Продолжаем ребро и след как прямые в плоскости грани.
Находим их внешнюю точку пересечения.
Через полученную точку переходим к смежной грани; в конце оставляем только части сечения внутри тела.

Ответ: Использовать продолжения прямых и перенести след на смежную грань

Самопроверка

Типичные ошибки

считать скрещивающиеся прямые параллельными
брать наклонную вместо перпендикуляра
доверять перспективному рисунку без доказательства

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Представьте, что вы объясняете тему «Метод следов, внутреннего проектирования и переноса плоскости» ученику младше вас. Расскажите, что означает правило, почему оно работает и как не допустить первую типичную ошибку: считать скрещивающиеся прямые параллельными

В хорошем объяснении есть:

Вы объяснили главную идею без дословного пересказа: Прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться; прямая и плоскость — пересекаться или быть параллельными.
Вы расшифровали математическую запись словами: Пересечение секущей плоскости альфа и плоскости грани бета является прямой l — следом секущей плоскости на этой грани.
Вы придумали собственный пример, выполнили алгоритм и проверили, соответствует ли ответ условию.

Закрепление материала

Мини-тест

Выберите ответ на каждый вопрос. Объяснения откроются после проверки.

Открываем мини-тест…