Куб, параллелепипед, развёртки и объём
Многогранники состоят из плоских многоугольников и позволяют перейти от планиметрии к пространственным задачам.
Главная идея
Что нужно понять
Прямоугольный параллелепипед ограничен шестью прямоугольниками, а куб — шестью равными квадратами. Развёртка — расположение всех граней тела на плоскости без разрывов по сохраняемым рёбрам.
Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений, а площадь поверхности — сумме площадей шести граней; для куба все три измерения равны ребру a.
Прямоугольный параллелепипед имеет шесть прямоугольных граней, а куб — шесть равных квадратов. Развёртка показывает эти грани на плоскости и должна складываться без наложений.
Объём считают числом единичных кубов: V = abc, для куба V = a³. Площадь поверхности получают сложением площадей всех шести граней, а не умножением трёх измерений.
Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.
Обоснование
Почему это работает
Объём прямой призмы равен числу единичных слоёв основания, уложенных по высоте. Пирамида с теми же основанием и высотой занимает треть объёма призмы — это подтверждается разбиением соответствующих тел.
Опорная формула
Объём параллелепипеда равен произведению длины, ширины и высоты. Площадь поверхности равна удвоенной сумме площадей трёх попарно разных граней.
Объём и площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, объём куба.Расшифровка
Обозначения и термины
- Sосн
- площадь основания
- h
- перпендикулярная высота
- V = Sосн·h
- объём призмы
- V = ⅓Sосн·h
- объём пирамиды
Алгоритм
Как решать задачи
- определить три измерения тела и привести их к одной единице
- для объёма перемножить измерения, для поверхности сложить площади шести граней
- проверить кубические или квадратные единицы и согласованность развёртки
От простого к сложному
Подробные примеры
Найдите объём коробки размером 3 см × 4 см × 5 см.
- Используем V = abc.
- V = 3 · 4 · 5 = 60 см³.
Ответ: 60 см³
Найдите площадь поверхности куба с ребром 2 см.
- Одна грань имеет площадь 2² = 4 см².
- У куба шесть граней: S = 6 · 4 = 24 см².
Ответ: 24 см²
Самопроверка
Типичные ошибки
- принимать боковое ребро за высоту наклонной призмы
- терять коэффициент 1/3 у пирамиды
- строить сечение без проверки принадлежности точек граням
Закрепление материала
Мини-тест
Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.