Куб, параллелепипед, развёртки и объём · 5 класс

$Умблик показывает математические модели на доске$

Посмотрите на идеюКуб, параллелепипед, развёртки и объём

На рисунке правило превращается в модель: отметьте известные элементы, связь между ними и только затем переходите к буквенной записи.

Главная идея

Что нужно понять

Прямоугольный параллелепипед ограничен шестью прямоугольниками, а куб — шестью равными квадратами. Развёртка — расположение всех граней тела на плоскости без разрывов по сохраняемым рёбрам.

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений, а площадь поверхности — сумме площадей шести граней; для куба все три измерения равны ребру a.

Прямоугольный параллелепипед имеет шесть прямоугольных граней, а куб — шесть равных квадратов. Развёртка показывает эти грани на плоскости и должна складываться без наложений.

Объём считают числом единичных кубов: V = abc, для куба V = a³. Площадь поверхности получают сложением площадей всех шести граней, а не умножением трёх измерений.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Объём прямой призмы равен числу единичных слоёв основания, уложенных по высоте. Пирамида с теми же основанием и высотой занимает треть объёма призмы — это подтверждается разбиением соответствующих тел.

Схема к теме

Алгоритм: Куб, параллелепипед, развёртки и объём

1. Определить — три измерения тела и привести их к одной единице
2. Для объёма — перемножить измерения, для поверхности сложить площади шести граней
3. Проверить — кубические или квадратные единицы и согласованность развёртки

Шаги расположены в том порядке, в котором их нужно выполнять. Вывод: Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений, а площадь поверхности — сумме площадей шести граней; для куба все три измерения равны ребру a.

Опорная формула

V=abc,\qquad S=2(ab+bc+ac),\qquad V_{\text{куба}}=a^3

Формула словами

Объём параллелепипеда равен произведению длины, ширины и высоты. Площадь поверхности равна удвоенной сумме площадей трёх попарно разных граней.

Объём и площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, объём куба.

Расшифровка

Обозначения и термины

Sосн: площадь основания
h: перпендикулярная высота
V = Sосн·h: объём призмы
V = ⅓Sосн·h: объём пирамиды

Алгоритм

Как решать задачи

определить три измерения тела и привести их к одной единице
для объёма перемножить измерения, для поверхности сложить площади шести граней
проверить кубические или квадратные единицы и согласованность развёртки

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Найдите объём коробки размером 3 см × 4 см × 5 см.

Используем V = abc.
V = 3 · 4 · 5 = 60 см³.

Ответ: 60 см³

Пример 2

Найдите площадь поверхности куба с ребром 2 см.

Одна грань имеет площадь 2² = 4 см².
У куба шесть граней: S = 6 · 4 = 24 см².

Ответ: 24 см²

Самопроверка

Типичные ошибки

принимать боковое ребро за высоту наклонной призмы
терять коэффициент 1/3 у пирамиды
строить сечение без проверки принадлежности точек граням

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Представьте, что вы объясняете тему «Куб, параллелепипед, развёртки и объём» ученику младше вас. Расскажите, что означает правило, почему оно работает и как не допустить первую типичную ошибку: принимать боковое ребро за высоту наклонной призмы

В хорошем объяснении есть:

Вы объяснили главную идею без дословного пересказа: Прямоугольный параллелепипед ограничен шестью прямоугольниками, а куб — шестью равными квадратами. Развёртка — расположение всех граней тела на плоскости без разрывов по сохраняемым рёбрам.
Вы расшифровали математическую запись словами: Объём параллелепипеда равен произведению длины, ширины и высоты. Площадь поверхности равна удвоенной сумме площадей трёх попарно разных граней.
Вы придумали собственный пример, выполнили алгоритм и проверили, соответствует ли ответ условию.

Закрепление материала

Мини-тест

Выберите ответ на каждый вопрос. Объяснения откроются после проверки.

Открываем мини-тест…