Многоугольники, окружность и круг
Окружность объединяет точки, равноудалённые от центра, а её углы, хорды и касательные связаны строгими теоремами.
Главная идея
Что нужно понять
Многоугольник — часть плоскости, ограниченная простой замкнутой ломаной. Окружность — множество точек плоскости на одинаковом расстоянии от центра, а круг состоит из окружности и всех точек внутри неё.
Периметр многоугольника равен сумме длин всех его сторон; радиус соединяет центр с точкой окружности, а диаметр проходит через центр и равен двум радиусам.
Многоугольник ограничен замкнутой ломаной, окружность является только границей, а круг включает границу и внутреннюю область. Число сторон многоугольника равно числу его вершин.
В задаче отмечают стороны, вершины и диагонали многоугольника, а у окружности — центр, радиус и диаметр. Это предотвращает подмену длины границы площадью области.
Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.
Обоснование
Почему это работает
Все точки окружности находятся на одном расстоянии от центра. Из равенства радиусов возникают равнобедренные треугольники, а из них — связи между центральными, вписанными углами, хордами и касательными.
Опорная формула
Периметр равен сумме длин всех сторон многоугольника. Диаметр окружности проходит через её центр и имеет длину, равную двум радиусам.
Периметр n-угольника и связь диаметра окружности с радиусом.Расшифровка
Обозначения и термины
- R
- радиус окружности
- d = 2R
- диаметр
- L = 2πR
- длина окружности
- S = πR²
- площадь круга
Алгоритм
Как решать задачи
- определить, рассматривается граница фигуры или вся внутренняя область
- назвать вершины, стороны либо центр, радиусы и диаметр
- выбрать сумму длин или связь диаметра с радиусом и проверить единицы
От простого к сложному
Подробные примеры
Найдите периметр четырёхугольника со сторонами 3 см, 4 см, 5 см и 6 см.
- Периметр — сумма длин всех четырёх сторон.
- P = 3 + 4 + 5 + 6 = 18 см.
Ответ: 18 см
Радиус окружности равен 7 см. Найдите её диаметр.
- Диаметр состоит из двух радиусов.
- d = 2 · 7 = 14 см.
Ответ: 14 см
Самопроверка
Типичные ошибки
- путать радиус и диаметр
- использовать формулу площади вместо длины
- не видеть прямой угол в точке касания
Закрепление материала
Мини-тест
Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.