Призма, пирамида, цилиндр, конус, шар и сфера · 6 класс

$Умблик показывает математические модели на доске$

Посмотрите на идеюПризма, пирамида, цилиндр, конус, шар и сфера

На рисунке правило превращается в модель: отметьте известные элементы, связь между ними и только затем переходите к буквенной записи.

Главная идея

Что нужно понять

Призма и пирамида — многогранники с плоскими гранями; цилиндр и конус имеют круговые основания и кривую боковую поверхность; сфера является границей шара, а шар включает все внутренние точки.

У призмы два равных параллельных многоугольных основания, у пирамиды одно основание и общая вершина боковых граней, у цилиндра два круга, у конуса один круг и вершина.

Призма и пирамида являются многогранниками с плоскими гранями; цилиндр, конус и шар имеют кривые поверхности. Сфера — граница шара, так же как окружность — граница круга.

Тело распознают по основаниям и боковой поверхности: у призмы два равных параллельных многоугольника, у пирамиды одно основание и общая вершина боковых граней, у цилиндра и конуса основания круговые.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Тела вращения получаются непрерывным поворотом плоской фигуры вокруг оси. Поэтому их размеры связаны с исходными радиусом и высотой, а формулы объёма можно понимать как суммы площадей тонких поперечных сечений.

Схема к теме

Алгоритм: Призма, пирамида, цилиндр, конус, шар и сфера

1. Определить — число и форму оснований тела
2. Проверить, — состоит ли боковая поверхность из плоских граней или является кривой
3. Отличить — поверхность от содержащего её пространственного тела

Шаги расположены в том порядке, в котором их нужно выполнять. Вывод: У призмы два равных параллельных многоугольных основания, у пирамиды одно основание и общая вершина боковых граней, у цилиндра два круга, у конуса один круг и вершина.

Опорная формула

V_{\text{параллелепипеда}}=abc,\qquad V_{\text{цилиндра}}=\pi R^2h

Формула словами

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх измерений, а объём цилиндра — площади круглого основания, умноженной на высоту.

Примеры формул объёма многогранника и тела с круговым основанием.

Расшифровка

Обозначения и термины

R: радиус основания или сферы
h: высота цилиндра или конуса
l: образующая конуса
V, S: объём и площадь поверхности

Алгоритм

Как решать задачи

определить число и форму оснований тела
проверить, состоит ли боковая поверхность из плоских граней или является кривой
отличить поверхность от содержащего её пространственного тела

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

У тела два равных параллельных треугольных основания и три прямоугольные боковые грани. Что это за тело?

Два равных параллельных многоугольника являются основаниями призмы.
Треугольная форма оснований даёт треугольную призму.

Ответ: Треугольная призма

Пример 2

Чем шар отличается от сферы?

Сфера состоит из точек на фиксированном расстоянии от центра.
Шар содержит сферу и все точки внутри неё.

Ответ: Шар включает внутренность, сфера является его границей

Самопроверка

Типичные ошибки

путать площадь поверхности и объём
использовать диаметр вместо радиуса
забывать кубические единицы

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Представьте, что вы объясняете тему «Призма, пирамида, цилиндр, конус, шар и сфера» ученику младше вас. Расскажите, что означает правило, почему оно работает и как не допустить первую типичную ошибку: путать площадь поверхности и объём

В хорошем объяснении есть:

Вы объяснили главную идею без дословного пересказа: Призма и пирамида — многогранники с плоскими гранями; цилиндр и конус имеют круговые основания и кривую боковую поверхность; сфера является границей шара, а шар включает все внутренние точки.
Вы расшифровали математическую запись словами: Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх измерений, а объём цилиндра — площади круглого основания, умноженной на высоту.
Вы придумали собственный пример, выполнили алгоритм и проверили, соответствует ли ответ условию.

Закрепление материала

Мини-тест

Выберите ответ на каждый вопрос. Объяснения откроются после проверки.

Открываем мини-тест…