Более сложные задачи на построение · 7 класс

$Умблик показывает математические модели на доске$

Посмотрите на идеюБолее сложные задачи на построение

На рисунке правило превращается в модель: отметьте известные элементы, связь между ними и только затем переходите к буквенной записи.

Главная идея

Что нужно понять

Геометрическое место точек — множество всех точек, удовлетворяющих заданному условию.

Полное решение задачи на построение включает анализ, построение, доказательство и исследование числа решений.

В теме «Более сложные задачи на построение» важно научиться узнавать задачу по её условиям, выбирать подходящее правило и связывать символическую запись с числовым или геометрическим смыслом. Опорная идея темы такова: Построение и доказательство учат получать результат из явно сформулированных свойств, а не доверять внешнему виду рисунка.

Полное решение на уровне 7 класса включает запись исходных данных, обоснование выбранного способа, последовательные вычисления, проверку ограничений и ответ на вопрос задачи. Ниже этот порядок показан на двух примерах.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Построение циркулем и линейкой опирается на геометрические места точек. Пересечение двух таких множеств одновременно выполняет два условия задачи; доказательство подтверждает, что построены все и только нужные точки.

Схема к теме

Алгоритм: Более сложные задачи на построение

Геометрическое место точек — множество всех точек, удовлетворяющих заданному условию.

1. Проанализировать — свойства искомой фигуры
2. Выполнить — построение разрешёнными инструментами
3. Доказать — правильность и исследовать случаи

Шаги расположены в том порядке, в котором их нужно выполнять. Вывод: Полное решение задачи на построение включает анализ, построение, доказательство и исследование числа решений.

Опорная формула

MA=MB\quad\Longleftrightarrow\quad M\text{ лежит на серединном перпендикуляре к }AB

Формула словами

Точка M равноудалена от A и B тогда и только тогда, когда она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB.

Геометрическое место точек, равноудалённых от концов отрезка.

Расшифровка

Обозначения и термины

ГМТ: геометрическое место точек
MA = MB: M равноудалена от A и B
∠: угол
⊥: перпендикулярность

Алгоритм

Как решать задачи

проанализировать свойства искомой фигуры
выполнить построение разрешёнными инструментами
доказать правильность и исследовать случаи

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Где находятся точки, равноудалённые от A и B?

Центр окружности через A и B должен иметь равные радиусы.
Все такие центры образуют серединный перпендикуляр к AB.

Ответ: На серединном перпендикуляре к AB

Пример 2

Точки A, B и C не лежат на одной прямой. Постройте в их плоскости точку, равноудалённую от A, B и C, и обоснуйте построение.

Строим серединный перпендикуляр к AB.
Строим серединный перпендикуляр к AC.
Так как A, B и C не лежат на одной прямой, эти перпендикуляры пересекаются в единственной точке O.
По свойству серединного перпендикуляра OA = OB и OA = OC, поэтому OA = OB = OC; любая искомая точка лежит на обоих перпендикулярах и совпадает с O.

Ответ: Построить серединные перпендикуляры к AB и AC и взять их единственную точку пересечения O. Тогда OA = OB = OC; O — центр описанной окружности треугольника ABC.

Самопроверка

Типичные ошибки

считать аккуратный рисунок доказательством
пропускать исследование существования
использовать свойства, которые ещё не доказаны

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Представьте, что вы объясняете тему «Более сложные задачи на построение» ученику младше вас. Расскажите, что означает правило, почему оно работает и как не допустить первую типичную ошибку: считать аккуратный рисунок доказательством

В хорошем объяснении есть:

Вы объяснили главную идею без дословного пересказа: Геометрическое место точек — множество всех точек, удовлетворяющих заданному условию.
Вы расшифровали математическую запись словами: Точка M равноудалена от A и B тогда и только тогда, когда она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB.
Вы придумали собственный пример, выполнили алгоритм и проверили, соответствует ли ответ условию.

Закрепление материала

Мини-тест

Выберите ответ на каждый вопрос. Объяснения откроются после проверки.

Открываем мини-тест…