Окружность, хорда, касательная, вписанная и описанная окружности
Окружность объединяет точки, равноудалённые от центра, а её углы, хорды и касательные связаны строгими теоремами.
Главная идея
Что нужно понять
Хорда соединяет две точки окружности, касательная имеет с окружностью одну общую точку, описанная около треугольника окружность проходит через его вершины, а вписанная касается всех сторон.
Радиус перпендикулярен касательной в точке касания; центр описанной окружности — пересечение серединных перпендикуляров, центр вписанной — пересечение биссектрис.
Хорда соединяет две точки окружности, диаметр проходит через центр, а касательная имеет одну общую точку с окружностью и перпендикулярна проведённому в неё радиусу.
Центр описанной окружности треугольника находят как пересечение серединных перпендикуляров, центр вписанной — как пересечение биссектрис. Эти конструкции нельзя менять местами.
Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.
Обоснование
Почему это работает
Все точки окружности находятся на одном расстоянии от центра. Из равенства радиусов возникают равнобедренные треугольники, а из них — связи между центральными, вписанными углами, хордами и касательными.
Опорная формула
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Центр описанной окружности равноудалён от всех трёх вершин треугольника.
Перпендикулярность радиуса касательной и равенство радиусов описанной окружности.Расшифровка
Обозначения и термины
- R
- радиус окружности
- d = 2R
- диаметр
- L = 2πR
- длина окружности
- S = πR²
- площадь круга
Алгоритм
Как решать задачи
- определить, окружность вписана в треугольник или описана около него
- провести биссектрисы либо серединные перпендикуляры для нужного центра
- использовать равные радиусы и прямой угол в точке касания
От простого к сложному
Подробные примеры
Где находится центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника?
- Центр равноудалён от трёх вершин.
- В прямоугольном треугольнике такой точкой является середина гипотенузы.
Ответ: В середине гипотенузы
Радиус OT проведён в точку T касания. Чему равен угол между OT и касательной?
- Радиус в точку касания перпендикулярен касательной.
- Перпендикулярные прямые образуют угол 90°.
Ответ: 90°
Самопроверка
Типичные ошибки
- путать радиус и диаметр
- использовать формулу площади вместо длины
- не видеть прямой угол в точке касания
Закрепление материала
Мини-тест
Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.