Окружность, хорда, касательная, вписанная и описанная окружности
Окружность объединяет точки, равноудалённые от центра, а её углы, хорды и касательные связаны строгими теоремами.
На рисунке правило превращается в модель: отметьте известные элементы, связь между ними и только затем переходите к буквенной записи.
Главная идея
Что нужно понять
Хорда соединяет две точки окружности, касательная имеет с окружностью одну общую точку, описанная около треугольника окружность проходит через его вершины, а вписанная касается всех сторон.
Радиус перпендикулярен касательной в точке касания; центр описанной окружности — пересечение серединных перпендикуляров, центр вписанной — пересечение биссектрис.
Хорда соединяет две точки окружности, диаметр проходит через центр, а касательная имеет одну общую точку с окружностью и перпендикулярна проведённому в неё радиусу.
Центр описанной окружности треугольника находят как пересечение серединных перпендикуляров, центр вписанной — как пересечение биссектрис. Эти конструкции нельзя менять местами.
Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.
Обоснование
Почему это работает
Все точки окружности находятся на одном расстоянии от центра. Из равенства радиусов возникают равнобедренные треугольники, а из них — связи между центральными, вписанными углами, хордами и касательными.
Алгоритм: Окружность, хорда, касательная, вписанная и описанная окружности
Хорда соединяет две точки окружности, касательная имеет с окружностью одну общую точку, описанная около треугольника окружность проходит через его вершины, а вписанная касается всех сторон.
- 1. Определить, — окружность вписана в треугольник или описана около него
- 2. Провести — биссектрисы либо серединные перпендикуляры для нужного центра
- 3. Использовать — равные радиусы и прямой угол в точке касания
Опорная формула
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Центр описанной окружности равноудалён от всех трёх вершин треугольника.
Перпендикулярность радиуса касательной и равенство радиусов описанной окружности.Расшифровка
Обозначения и термины
- R
- радиус окружности
- d = 2R
- диаметр
- L = 2πR
- длина окружности
- S = πR²
- площадь круга
Алгоритм
Как решать задачи
- определить, окружность вписана в треугольник или описана около него
- провести биссектрисы либо серединные перпендикуляры для нужного центра
- использовать равные радиусы и прямой угол в точке касания
От простого к сложному
Подробные примеры
Где находится центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника?
- Центр равноудалён от трёх вершин.
- В прямоугольном треугольнике такой точкой является середина гипотенузы.
Ответ: В середине гипотенузы
Радиус OT проведён в точку T касания. Чему равен угол между OT и касательной?
- Радиус в точку касания перпендикулярен касательной.
- Перпендикулярные прямые образуют угол 90°.
Ответ: 90°
Самопроверка
Типичные ошибки
- путать радиус и диаметр
- использовать формулу площади вместо длины
- не видеть прямой угол в точке касания
Проверка пониманияОбъясните тему своими словами
Представьте, что вы объясняете тему «Окружность, хорда, касательная, вписанная и описанная окружности» ученику младше вас. Расскажите, что означает правило, почему оно работает и как не допустить первую типичную ошибку: путать радиус и диаметр
В хорошем объяснении есть:
- Вы объяснили главную идею без дословного пересказа: Хорда соединяет две точки окружности, касательная имеет с окружностью одну общую точку, описанная около треугольника окружность проходит через его вершины, а вписанная касается всех сторон.
- Вы расшифровали математическую запись словами: Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Центр описанной окружности равноудалён от всех трёх вершин треугольника.
- Вы придумали собственный пример, выполнили алгоритм и проверили, соответствует ли ответ условию.
Закрепление материала
Мини-тест
Выберите ответ на каждый вопрос. Объяснения откроются после проверки.
Открываем мини-тест…