Аксиомы, теоремы и структура доказательства
Построение и доказательство учат получать результат из явно сформулированных свойств, а не доверять внешнему виду рисунка.
На рисунке правило превращается в модель: отметьте известные элементы, связь между ними и только затем переходите к буквенной записи.
Главная идея
Что нужно понять
Геометрическое место точек — множество всех точек, удовлетворяющих заданному условию.
Полное решение задачи на построение включает анализ, построение, доказательство и исследование числа решений.
Аксиома принимается без доказательства, определение раскрывает смысл термина, а теорема выводится логически из уже известных фактов. В доказательстве отдельно фиксируют условие, требуемое утверждение и цепочку обоснованных шагов.
Рисунок служит моделью, но не основанием вывода: каждое равенство, параллельность или принадлежность должны следовать из условия либо названной теоремы.
Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.
Обоснование
Почему это работает
Построение циркулем и линейкой опирается на геометрические места точек. Пересечение двух таких множеств одновременно выполняет два условия задачи; доказательство подтверждает, что построены все и только нужные точки.
Алгоритм: Аксиомы, теоремы и структура доказательства
Геометрическое место точек — множество всех точек, удовлетворяющих заданному условию.
- 1. Проанализировать — свойства искомой фигуры
- 2. Выполнить — построение разрешёнными инструментами
- 3. Доказать — правильность и исследовать случаи
Опорная формула
Точка M равноудалена от A и B тогда и только тогда, когда она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB.
Геометрическое место точек, равноудалённых от концов отрезка.Расшифровка
Обозначения и термины
- ГМТ
- геометрическое место точек
- MA = MB
- M равноудалена от A и B
- ∠
- угол
- ⊥
- перпендикулярность
Алгоритм
Как решать задачи
- проанализировать свойства искомой фигуры
- выполнить построение разрешёнными инструментами
- доказать правильность и исследовать случаи
От простого к сложному
Подробные примеры
Где находятся точки, равноудалённые от A и B?
- Центр окружности через A и B должен иметь равные радиусы.
- Все такие центры образуют серединный перпендикуляр к AB.
Ответ: На серединном перпендикуляре к AB
Точки A, B и C не лежат на одной прямой. Постройте в их плоскости точку, равноудалённую от A, B и C, и обоснуйте построение.
- Строим серединный перпендикуляр к AB.
- Строим серединный перпендикуляр к AC.
- Так как A, B и C не лежат на одной прямой, эти перпендикуляры пересекаются в единственной точке O.
- По свойству серединного перпендикуляра OA = OB и OA = OC, поэтому OA = OB = OC; любая искомая точка лежит на обоих перпендикулярах и совпадает с O.
Ответ: Построить серединные перпендикуляры к AB и AC и взять их единственную точку пересечения O. Тогда OA = OB = OC; O — центр описанной окружности треугольника ABC.
Самопроверка
Типичные ошибки
- считать аккуратный рисунок доказательством
- пропускать исследование существования
- использовать свойства, которые ещё не доказаны
Проверка пониманияОбъясните тему своими словами
Представьте, что вы объясняете тему «Аксиомы, теоремы и структура доказательства» ученику младше вас. Расскажите, что означает правило, почему оно работает и как не допустить первую типичную ошибку: считать аккуратный рисунок доказательством
В хорошем объяснении есть:
- Вы объяснили главную идею без дословного пересказа: Геометрическое место точек — множество всех точек, удовлетворяющих заданному условию.
- Вы расшифровали математическую запись словами: Точка M равноудалена от A и B тогда и только тогда, когда она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB.
- Вы придумали собственный пример, выполнили алгоритм и проверили, соответствует ли ответ условию.
Закрепление материала
Мини-тест
Выберите ответ на каждый вопрос. Объяснения откроются после проверки.
Открываем мини-тест…