Основные геометрические фигуры и углы · 7 класс

$Умблик показывает математические модели на доске$

Посмотрите на идеюОсновные геометрические фигуры и углы

На рисунке правило превращается в модель: отметьте известные элементы, связь между ними и только затем переходите к буквенной записи.

Главная идея

Что нужно понять

Точка, прямая, луч, отрезок и угол являются исходными объектами планиметрии; смежные углы имеют общую сторону, а их другие стороны образуют прямую, вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых.

Вертикальные углы равны, сумма смежных углов равна 180°, а биссектриса делит угол на два равных угла.

Определения точки, прямой, отрезка, луча и угла задают язык доказательной геометрии. Вертикальные углы равны, а сумма смежных углов равна 180°.

На чертеже отдельно фиксируют данные и то, что требуется доказать. Равенство или взаимное расположение объектов обосновывают определением либо теоремой, а не измерением рисунка.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Определения задают точные признаки фигур. Чертёж помогает увидеть отношения, но не доказывает их: точка не имеет размера, прямая не имеет концов, а отрезок ограничен двумя точками.

Схема к теме

Алгоритм: Основные геометрические фигуры и углы

1. Выписать — данные о принадлежности точек, лучах и углах
2. Распознать — вертикальные, смежные углы или биссектрису по определению
3. Применить — равенство либо сумму и обосновать каждый вывод

Шаги расположены в том порядке, в котором их нужно выполнять. Вывод: Вертикальные углы равны, сумма смежных углов равна 180°, а биссектриса делит угол на два равных угла.

Опорная формула

\alpha+\beta=180^\circ,\qquad \angle1=\angle3

Формула словами

Смежные углы в сумме дают сто восемьдесят градусов, а противоположные вертикальные углы при пересечении двух прямых равны.

Сумма смежных углов и равенство вертикальных углов.

Расшифровка

Обозначения и термины

A, B: обозначения точек
AB: отрезок или его длина по контексту
∠ABC: угол с вершиной B
O, R: центр и радиус окружности

Алгоритм

Как решать задачи

выписать данные о принадлежности точек, лучах и углах
распознать вертикальные, смежные углы или биссектрису по определению
применить равенство либо сумму и обосновать каждый вывод

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Один из вертикальных углов равен 64°. Найдите противоположный ему угол.

Указанные углы вертикальные.
Вертикальные углы равны, поэтому искомый угол равен 64°.

Ответ: 64°

Пример 2

Один из смежных углов равен 118°. Найдите второй.

Сумма смежных углов равна 180°.
180° − 118° = 62°.

Ответ: 62°

Самопроверка

Типичные ошибки

считать прямую конечной
путать луч и отрезок
делать выводы только по масштабу рисунка

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Представьте, что вы объясняете тему «Основные геометрические фигуры и углы» ученику младше вас. Расскажите, что означает правило, почему оно работает и как не допустить первую типичную ошибку: считать прямую конечной

В хорошем объяснении есть:

Вы объяснили главную идею без дословного пересказа: Точка, прямая, луч, отрезок и угол являются исходными объектами планиметрии; смежные углы имеют общую сторону, а их другие стороны образуют прямую, вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых.
Вы расшифровали математическую запись словами: Смежные углы в сумме дают сто восемьдесят градусов, а противоположные вертикальные углы при пересечении двух прямых равны.
Вы придумали собственный пример, выполнили алгоритм и проверили, соответствует ли ответ условию.

Закрепление материала

Мини-тест

Выберите ответ на каждый вопрос. Объяснения откроются после проверки.

Открываем мини-тест…