УмбликМатематика
К программе 7 класса
Геометрия7 класс 15–20 минут3 задания

Основные геометрические фигуры и углы

Базовые фигуры и точные определения формируют язык, на котором записываются геометрические условия и доказательства.

Главная идея

Что нужно понять

Точка, прямая, луч, отрезок и угол являются исходными объектами планиметрии; смежные углы имеют общую сторону, а их другие стороны образуют прямую, вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых.

Вертикальные углы равны, сумма смежных углов равна 180°, а биссектриса делит угол на два равных угла.

Определения точки, прямой, отрезка, луча и угла задают язык доказательной геометрии. Вертикальные углы равны, а сумма смежных углов равна 180°.

На чертеже отдельно фиксируют данные и то, что требуется доказать. Равенство или взаимное расположение объектов обосновывают определением либо теоремой, а не измерением рисунка.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Определения задают точные признаки фигур. Чертёж помогает увидеть отношения, но не доказывает их: точка не имеет размера, прямая не имеет концов, а отрезок ограничен двумя точками.

Опорная формула

α+β=180∘,∠1=∠3\alpha+\beta=180^\circ,\qquad \angle1=\angle3
Формула словами

Смежные углы в сумме дают сто восемьдесят градусов, а противоположные вертикальные углы при пересечении двух прямых равны.

Сумма смежных углов и равенство вертикальных углов.

Расшифровка

Обозначения и термины

A, B
обозначения точек
AB
отрезок или его длина по контексту
∠ABC
угол с вершиной B
O, R
центр и радиус окружности

Алгоритм

Как решать задачи

  1. выписать данные о принадлежности точек, лучах и углах
  2. распознать вертикальные, смежные углы или биссектрису по определению
  3. применить равенство либо сумму и обосновать каждый вывод

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Один из вертикальных углов равен 64°. Найдите противоположный ему угол.

  1. Указанные углы вертикальные.
  2. Вертикальные углы равны, поэтому искомый угол равен 64°.

Ответ: 64°

Пример 2

Один из смежных углов равен 118°. Найдите второй.

  1. Сумма смежных углов равна 180°.
  2. 180° − 118° = 62°.

Ответ: 62°

Самопроверка

Типичные ошибки

  • считать прямую конечной
  • путать луч и отрезок
  • делать выводы только по масштабу рисунка

Закрепление материала

Мини-тест

Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.

  1. Задание 1
    Сколько концов имеет отрезок?
  2. Задание 2
    С какого действия разумно начать работу по теме «Основные геометрические фигуры и углы»?
  3. Задание 3
    Один из вертикальных углов равен 64°. Найдите противоположный ему угол.