Равнобедренный и прямоугольный треугольники · 7 класс

$Умблик показывает математические модели на доске$

Посмотрите на идеюРавнобедренный и прямоугольный треугольники

На рисунке правило превращается в модель: отметьте известные элементы, связь между ними и только затем переходите к буквенной записи.

Главная идея

Что нужно понять

Равнобедренный треугольник имеет две равные боковые стороны и основание, а прямоугольный — один угол 90°, два катета и гипотенузу напротив прямого угла.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а медиана к основанию является также высотой и биссектрисой; острые углы прямоугольного треугольника в сумме дают 90°.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а медиана к основанию одновременно является высотой и биссектрисой. В прямоугольном треугольнике сторона напротив угла 90° называется гипотенузой.

В задаче сначала определяют специальный вид треугольника, затем применяют только его свойства. Равенство двух углов даёт обратный признак равнобедренного треугольника.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Признаки равенства дают минимальный набор данных, достаточный для полного совпадения треугольников. После доказательства равенства можно переносить все соответствующие длины и углы с одного треугольника на другой.

Схема к теме

Алгоритм: Равнобедренный и прямоугольный треугольники

1. Определить — специальный вид треугольника по данным сторонам или углам
2. Отметить — основание и равные углы либо катеты и гипотенузу
3. Применить — специальное свойство вместе с суммой углов треугольника

Шаги расположены в том порядке, в котором их нужно выполнять. Вывод: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а медиана к основанию является также высотой и биссектрисой; острые углы прямоугольного треугольника в сумме дают 90°.

Опорная формула

AB=AC\Rightarrow\angle B=\angle C,\qquad \alpha+\beta=90^\circ

Формула словами

Против равных сторон равнобедренного треугольника лежат равные углы. Два острых угла прямоугольного треугольника дополняют друг друга до девяноста градусов.

Свойство углов равнобедренного треугольника и сумма острых углов прямоугольного.

Расшифровка

Обозначения и термины

△ABC: треугольник с вершинами A, B, C
AB = AC: равнобедренный треугольник с основанием BC
∠A: угол при вершине A
△ABC = △A₁B₁C₁: соответствующие треугольники равны

Алгоритм

Как решать задачи

определить специальный вид треугольника по данным сторонам или углам
отметить основание и равные углы либо катеты и гипотенузу
применить специальное свойство вместе с суммой углов треугольника

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 40°. Найдите углы при основании.

Углы при основании равны.
Их сумма 180° − 40° = 140°, значит каждый равен 70°.

Ответ: 70° и 70°

Пример 2

Один острый угол прямоугольного треугольника равен 37°. Найдите другой.

Острые углы в сумме дают 90°.
90° − 37° = 53°.

Ответ: 53°

Самопроверка

Типичные ошибки

делать вывод о равенстве по рисунку
использовать два угла как признак равенства
забывать неравенство треугольника

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Представьте, что вы объясняете тему «Равнобедренный и прямоугольный треугольники» ученику младше вас. Расскажите, что означает правило, почему оно работает и как не допустить первую типичную ошибку: делать вывод о равенстве по рисунку

В хорошем объяснении есть:

Вы объяснили главную идею без дословного пересказа: Равнобедренный треугольник имеет две равные боковые стороны и основание, а прямоугольный — один угол 90°, два катета и гипотенузу напротив прямого угла.
Вы расшифровали математическую запись словами: Против равных сторон равнобедренного треугольника лежат равные углы. Два острых угла прямоугольного треугольника дополняют друг друга до девяноста градусов.
Вы придумали собственный пример, выполнили алгоритм и проверили, соответствует ли ответ условию.

Закрепление материала

Мини-тест

Выберите ответ на каждый вопрос. Объяснения откроются после проверки.

Открываем мини-тест…