Равнобедренный и прямоугольный треугольники
Треугольник — базовая фигура доказательной геометрии: сложные конфигурации часто разбивают именно на треугольники.
Главная идея
Что нужно понять
Равнобедренный треугольник имеет две равные боковые стороны и основание, а прямоугольный — один угол 90°, два катета и гипотенузу напротив прямого угла.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а медиана к основанию является также высотой и биссектрисой; острые углы прямоугольного треугольника в сумме дают 90°.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а медиана к основанию одновременно является высотой и биссектрисой. В прямоугольном треугольнике сторона напротив угла 90° называется гипотенузой.
В задаче сначала определяют специальный вид треугольника, затем применяют только его свойства. Равенство двух углов даёт обратный признак равнобедренного треугольника.
Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.
Обоснование
Почему это работает
Признаки равенства дают минимальный набор данных, достаточный для полного совпадения треугольников. После доказательства равенства можно переносить все соответствующие длины и углы с одного треугольника на другой.
Опорная формула
Против равных сторон равнобедренного треугольника лежат равные углы. Два острых угла прямоугольного треугольника дополняют друг друга до девяноста градусов.
Свойство углов равнобедренного треугольника и сумма острых углов прямоугольного.Расшифровка
Обозначения и термины
- △ABC
- треугольник с вершинами A, B, C
- AB = AC
- равнобедренный треугольник с основанием BC
- ∠A
- угол при вершине A
- △ABC = △A₁B₁C₁
- соответствующие треугольники равны
Алгоритм
Как решать задачи
- определить специальный вид треугольника по данным сторонам или углам
- отметить основание и равные углы либо катеты и гипотенузу
- применить специальное свойство вместе с суммой углов треугольника
От простого к сложному
Подробные примеры
В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 40°. Найдите углы при основании.
- Углы при основании равны.
- Их сумма 180° − 40° = 140°, значит каждый равен 70°.
Ответ: 70° и 70°
Один острый угол прямоугольного треугольника равен 37°. Найдите другой.
- Острые углы в сумме дают 90°.
- 90° − 37° = 53°.
Ответ: 53°
Самопроверка
Типичные ошибки
- делать вывод о равенстве по рисунку
- использовать два угла как признак равенства
- забывать неравенство треугольника
Закрепление материала
Мини-тест
Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.