УмбликМатематика
К программе 7 класса
Геометрия7 класс 15–20 минут3 задания

Параллельные прямые и сумма углов треугольника

Треугольник — базовая фигура доказательной геометрии: сложные конфигурации часто разбивают именно на треугольники.

Главная идея

Что нужно понять

Треугольник задаётся тремя точками, не лежащими на одной прямой, и соединяющими их отрезками.

Сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°, а каждая сторона меньше суммы двух других.

При пересечении параллельных прямых секущей накрест лежащие и соответственные углы равны, а односторонние в сумме дают 180°. Эти связи доказывают сумму углов треугольника 180°.

Чтобы найти неизвестный угол, отмечают пару углов при секущей, переносят величину по признаку параллельности и только затем используют сумму углов треугольника или смежных углов.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Признаки равенства дают минимальный набор данных, достаточный для полного совпадения треугольников. После доказательства равенства можно переносить все соответствующие длины и углы с одного треугольника на другой.

Опорная формула

α+β+γ=180∘\alpha+\beta+\gamma=180^\circ
Формула словами

Сумма трёх внутренних углов любого невырожденного треугольника равна ста восьмидесяти градусам.

Сумма углов треугольника.

Расшифровка

Обозначения и термины

△ABC
треугольник с вершинами A, B, C
AB = AC
равнобедренный треугольник с основанием BC
∠A
угол при вершине A
△ABC = △A₁B₁C₁
соответствующие треугольники равны

Алгоритм

Как решать задачи

  1. отметить равные элементы
  2. выбрать признак равенства или нужную теорему
  3. записать логическую цепочку до искомого

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Два угла треугольника равны 50° и 60°. Найдите третий.

  1. Сумма углов равна 180°.
  2. 180° − 50° − 60° = 70°.

Ответ: 70°

Пример 2

В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 40°. Найдите углы при основании.

  1. Углы при основании равны.
  2. На них остаётся 180° − 40° = 140°.
  3. Каждый равен 140°/2.

Ответ: 70° и 70°

Самопроверка

Типичные ошибки

  • делать вывод о равенстве по рисунку
  • использовать два угла как признак равенства
  • забывать неравенство треугольника

Закрепление материала

Мини-тест

Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.

  1. Задание 1
    Чему равна сумма внутренних углов треугольника?
  2. Задание 2
    С какого действия разумно начать работу по теме «Параллельные прямые и сумма углов треугольника»?
  3. Задание 3
    Два угла треугольника равны 50° и 60°. Найдите третий.