Параллельные прямые и сумма углов треугольника · 7 класс

$Умблик показывает математические модели на доске$

Посмотрите на идеюПараллельные прямые и сумма углов треугольника

На рисунке правило превращается в модель: отметьте известные элементы, связь между ними и только затем переходите к буквенной записи.

Главная идея

Что нужно понять

Треугольник задаётся тремя точками, не лежащими на одной прямой, и соединяющими их отрезками.

Сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°, а каждая сторона меньше суммы двух других.

При пересечении параллельных прямых секущей накрест лежащие и соответственные углы равны, а односторонние в сумме дают 180°. Эти связи доказывают сумму углов треугольника 180°.

Чтобы найти неизвестный угол, отмечают пару углов при секущей, переносят величину по признаку параллельности и только затем используют сумму углов треугольника или смежных углов.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Признаки равенства дают минимальный набор данных, достаточный для полного совпадения треугольников. После доказательства равенства можно переносить все соответствующие длины и углы с одного треугольника на другой.

Схема к теме

Алгоритм: Параллельные прямые и сумма углов треугольника

Треугольник задаётся тремя точками, не лежащими на одной прямой, и соединяющими их отрезками.

1. Отметить — равные элементы
2. Выбрать признак — равенства или нужную теорему
3. Записать — логическую цепочку до искомого

Шаги расположены в том порядке, в котором их нужно выполнять. Вывод: Сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°, а каждая сторона меньше суммы двух других.

Опорная формула

\alpha+\beta+\gamma=180^\circ

Формула словами

Сумма трёх внутренних углов любого невырожденного треугольника равна ста восьмидесяти градусам.

Сумма углов треугольника.

Расшифровка

Обозначения и термины

△ABC: треугольник с вершинами A, B, C
AB = AC: равнобедренный треугольник с основанием BC
∠A: угол при вершине A
△ABC = △A₁B₁C₁: соответствующие треугольники равны

Алгоритм

Как решать задачи

отметить равные элементы
выбрать признак равенства или нужную теорему
записать логическую цепочку до искомого

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Два угла треугольника равны 50° и 60°. Найдите третий.

Сумма углов равна 180°.
180° − 50° − 60° = 70°.

Ответ: 70°

Пример 2

В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 40°. Найдите углы при основании.

Углы при основании равны.
На них остаётся 180° − 40° = 140°.
Каждый равен 140°/2.

Ответ: 70° и 70°

Самопроверка

Типичные ошибки

делать вывод о равенстве по рисунку
использовать два угла как признак равенства
забывать неравенство треугольника

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Представьте, что вы объясняете тему «Параллельные прямые и сумма углов треугольника» ученику младше вас. Расскажите, что означает правило, почему оно работает и как не допустить первую типичную ошибку: делать вывод о равенстве по рисунку

В хорошем объяснении есть:

Вы объяснили главную идею без дословного пересказа: Треугольник задаётся тремя точками, не лежащими на одной прямой, и соединяющими их отрезками.
Вы расшифровали математическую запись словами: Сумма трёх внутренних углов любого невырожденного треугольника равна ста восьмидесяти градусам.
Вы придумали собственный пример, выполнили алгоритм и проверили, соответствует ли ответ условию.

Закрепление материала

Мини-тест

Выберите ответ на каждый вопрос. Объяснения откроются после проверки.

Открываем мини-тест…