Вероятность и статистика · Повторные испытания

Схема Бернулли

Считаем ровно k успехов в n независимых испытаниях с постоянной вероятностью.

9 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Модель позволяет находить вероятность точного числа попаданий, дефектов или орлов в серии. Главное — до вычисления проверить независимость, неизменность p и двоичное разбиение каждого испытания.

Главная идея. Схема Бернулли описывает n независимых одинаковых испытаний с двумя результатами и постоянной вероятностью успеха p. Ровно k успехов могут стоять на разных позициях, поэтому появляется коэффициент сочетаний.

План рассуждения и проверка понимания

Убедитесь, что испытаний ровно n, в каждом определены успех и неудача, вероятность p постоянна, а результаты независимы.
Запишите вероятность одного фиксированного порядка с k успехами: pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Посчитайте расположения успехов коэффициентом C(n, k) и умножьте его на вероятность фиксированного порядка.
Проверьте границы 0 ≤ k ≤ n и различите события «ровно k», «не менее k» и «хотя бы один».

Частая ошибка. Применить биномиальную формулу к извлечениям шаров без возвращения, хотя состав мешка меняется и вероятность успеха зависит от предыдущего результата.

Как проверить себя. Проверьте постоянство p и независимость; без возвращения перемножайте меняющиеся условные вероятности или используйте гипергеометрическую модель.

Схема к теме

Наглядная модель: Схема Бернулли

Считаем ровно k успехов в n независимых испытаниях с постоянной вероятностью.

1. Условия — что известно и что требуется
2. Модель — порядок, повторения и допустимые исходы
3. Подсчёт — каждый вариант учитывается один раз
4. Проверка — малый случай можно выписать вручную

Последовательность отделяет выбор модели от вычисления и не даёт потерять или повторно учесть варианты. Вывод: Сначала ответьте на вопросы о порядке и повторениях, только потом выбирайте формулу.

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Выведите вероятность ровно двух орлов в трёх честных бросках, объяснив отдельно множитель C(3, 2) и вероятность каждой подходящей последовательности.

В хорошем объяснении есть:

Перечислены или посчитаны три позиции единственной решки: ООР, ОРО и РОО.
Каждая последовательность имеет вероятность (1/2)³, поэтому общая вероятность равна 3/8.

Когда повторения устроены одинаково

Схема Бернулли — $n$ независимых испытаний, в каждом из которых фиксируется успех или неудача, а вероятность успеха $p$ одинакова. Слово «успех» — условное название события: им может быть и обнаруженный дефект.

Важны три условия: два класса результатов, независимость всех испытаний в совокупности и постоянное $p$ . Броски одинаково настроенной виртуальной монеты подходят модели. Извлечение шаров без возвращения обычно не подходит: состав меняется, а результаты зависят друг от друга.

От одного порядка к любому

Пусть в трёх испытаниях нужен ровно один успех. Подходят последовательности УНН, НУН и ННУ. При независимости вероятность каждой $p(1-p)^2$ . Последовательности несовместимы, поэтому складываем их вероятности и получаем $3p(1-p)^2$ .

В общем случае последовательность с $k$ успехами имеет вероятность $p^k(1-p)^{n-k}$ . Выбрать позиции успехов можно $\binom nk$ способами. Произведение этих двух величин и даёт формулу Бернулли.

В записи $n!$ факториал — произведение целых от $1$ до $n$ ; отдельно принято $0!=1$ . Для $n=4$ , $k=2$ получаем $\binom42=4!/(2!2!)=6$ .

Границы и смысл результата

Число испытаний $n$ — неотрицательное целое, $k$ — целое от $0$ до $n$ . При $p=0$ успехов всегда ноль; при $p=1$ их всегда $n$ . При $n=0$ число успехов равно нулю с вероятностью $1$ . Эти случаи лучше описывать явно, не споря о записи $0^0$ .

Вероятность ровно $k$ успехов не равна вероятности не менее $k$ . Для «не менее» суммируют вероятности допустимых значений или используют противоположное событие. Среднее ожидаемое число успехов $np$ также не является гарантированным результатом отдельной серии.

Три примера

Три броска честной монеты, ровно два орла: $\binom32(1/2)^2(1/2)=3/8$ .
Четыре независимых попытки с $p=0{,}2$ , ровно один успех: $4\cdot0{,}2\cdot0{,}8^3=0{,}4096$ .
Из мешка с двумя красными и двумя синими шарами берут два без возвращения. Вероятность двух красных $(2/4)(1/3)=1/6$ , а не $(1/2)^2=1/4$ . Проверка условий не позволяет применить схему Бернулли к этому опыту.

Схема Бернулли описывает устройство испытаний. Теорема о приближении частоты к $p$ — следующий, отдельный результат.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k},\qquad k=0,\ldots,n

Формула словами: Для 0 < p < 1 вероятность ровно k успехов в n испытаниях Бернулли.

\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!},\qquad 0!=1

Формула словами: Число способов выбрать k позиций успехов среди n испытаний.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Лаборатория: Монета Лаборатория: Схема Бернулли Формула Бернулли Комбинаторика Биномиальные вероятности

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.