Вероятность и статистика · Подсчёт вариантов

Комбинаторное правило суммы

Складываем числа вариантов для непересекающихся альтернатив и проверяем, не посчитано ли что-то дважды.

6 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Приём помогает считать варианты по случаям, объединять разные типы кодов и строить числители вероятностей. Он также показывает, когда требуется вычесть пересечение вместо простой суммы.

Главная идея. Комбинаторное правило суммы объединяет альтернативные группы вариантов, когда выбирается один путь и группы не пересекаются. Тогда каждый итоговый объект учитывается ровно в одном слагаемом.

План рассуждения и проверка понимания

Разделите все допустимые результаты на случаи по одному ясному признаку и проверьте, что ни один результат не пропущен.
Убедитесь, что случаи попарно не пересекаются; если объект попадает в два случая, переразбейте их или учтите пересечение.
Посчитайте число вариантов внутри каждого случая одним согласованным способом и сложите полученные количества.
Проверьте на небольшом списке, что итоговая сумма покрывает каждый объект ровно один раз и не смешивает последовательный выбор с альтернативой.

Частая ошибка. Сложить пять чисел, кратных двум, и два числа, кратных пяти, на отрезке от 1 до 10 и получить семь, дважды посчитав число 10.

Как проверить себя. Группы пересекаются в числе 10, поэтому либо вычтите один общий вариант, либо разделите числа на непересекающиеся случаи; ответ равен шести.

Схема к теме

Наглядная модель: Комбинаторное правило суммы

Складываем числа вариантов для непересекающихся альтернатив и проверяем, не посчитано ли что-то дважды.

1. Условия — что известно и что требуется
2. Модель — порядок, повторения и допустимые исходы
3. Подсчёт — каждый вариант учитывается один раз
4. Проверка — малый случай можно выписать вручную

Последовательность отделяет выбор модели от вычисления и не даёт потерять или повторно учесть варианты. Вывод: Сначала ответьте на вопросы о порядке и повторениях, только потом выбирайте формулу.

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Сравните задачи «выбрать фрукт или йогурт» и «выбрать фрукт вместе с йогуртом» и объясните, почему в первой работает сумма 3 + 2, а во второй произведение 3 · 2.

В хорошем объяснении есть:

В первой задаче итог принадлежит одной из двух непересекающихся групп и выбирается ровно один предмет.
Во второй каждый итог состоит из двух последовательных частей, поэтому каждой из трёх первых возможностей соответствуют две вторые.

Выбрать один из разных путей

Комбинаторное правило суммы используется, когда решение выбирают из одной или другой группы вариантов. Если группы не пересекаются, число всех решений равно сумме размеров групп. Оно считает возможности, а не их вероятности.

Например, на перекус берут либо один из трёх видов фруктов, либо один из двух видов йогурта. Если выбирается ровно один предмет и группы не пересекаются, вариантов $3+2=5$ . Выбор фрукта вместе с йогуртом был бы другой задачей и потребовал правила произведения.

Главное условие — отсутствие повторов

Каждый допустимый объект должен попасть ровно в одну группу. Если некоторый вариант подходит к обеим, простая сумма его удвоит. Тогда используют вычитание пересечения или сначала переразбивают варианты на непересекающиеся случаи.

Разбиение на случаи должно также покрывать все допустимые решения. Можно разделить целые числа на чётные и нечётные; нельзя забыть ноль, когда делят допустимый диапазон только на положительные и отрицательные.

Правило обобщается на любое конечное число попарно непересекающихся групп. Попарная несовместимость сильнее отсутствия общего элемента у всех групп одновременно.

Связь с вероятностью

В конечной равновозможной модели правило помогает посчитать благоприятные исходы. Но само наличие $a+b$ вариантов не означает вероятностей $a/(a+b)$ и $b/(a+b)$ без равномерного выбора. Точки разного веса требуют суммирования весов отдельно.

Три примера

Билет выбирают в одном из двух непересекающихся секторов: $8$ мест в первом и $12$ во втором. Всего $20$ вариантов.
Числа от $1$ до $10$ , кратные двум или пяти: групповые размеры $5$ и $2$ , но число $10$ общее. Итог $5+2-1=6$ , простое правило суммы без поправки не подходит.
Трёхзначный код допускается либо из трёх букв, либо из трёх цифр; допустимых буквенных кодов $27$ , цифровых $1000$ . Если смешанные коды запрещены, всего $1027$ .

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

|A\cup B|=|A|+|B|,\qquad A\cap B=\varnothing

Формула словами: Числа вариантов складывают, если выбирается один вариант из непересекающихся групп.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Комбинаторика

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.