Вероятность и статистика · Подсчёт вариантов

Факториал и нулевой случай

Сворачиваем убывающее произведение в n! и объясняем, почему 0! равно единице.

6 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Обозначение компактно записывает убывающие произведения в перестановках, размещениях и сочетаниях. Рекурсия n! = n(n − 1)! помогает сокращать отношения без огромных чисел.

Главная идея. Факториал n! — произведение целых чисел от 1 до n, а 0! = 1 соответствует одному пустому способу ничего не выбирать. Он естественно считает порядки различных объектов.

План рассуждения и проверка понимания

Проверьте, что аргумент — неотрицательное целое в школьном определении, и отдельно распознайте граничный случай 0! = 1.
Разверните только нужные множители или примените n! = n(n − 1)!, особенно если рядом стоит другой факториал.
Сократите общую часть произведений до вычисления числовых значений, например 8!/6! = 8 · 7.
Следите за скобками: (n + 1)! означает факториал всего n + 1 и не равно выражению n! + 1.

Частая ошибка. Считать n!/k! равным (n − k)! и потерять множители между k + 1 и n, например получить 2 вместо 42 для 7!/5!.

Как проверить себя. Разложите 7! как 7 · 6 · 5! и сократите только общий множитель 5!; останется 7 · 6 = 42.

Схема к теме

Наглядная модель: Факториал и нулевой случай

Сворачиваем убывающее произведение в n! и объясняем, почему 0! равно единице.

1. Условия — что известно и что требуется
2. Модель — порядок, повторения и допустимые исходы
3. Подсчёт — каждый вариант учитывается один раз
4. Проверка — малый случай можно выписать вручную

Последовательность отделяет выбор модели от вычисления и не даёт потерять или повторно учесть варианты. Вывод: Сначала ответьте на вопросы о порядке и повторениях, только потом выбирайте формулу.

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Объясните одновременно алгебраический и комбинаторный смысл равенства 0! = 1 и его роль в формуле C(4, 0).

В хорошем объяснении есть:

Пустое произведение принято равным единице, чтобы рекуррентные и комбинаторные формулы сохранялись на границе.
Выбрать ноль объектов из четырёх можно одним способом — оставить пустое подмножество, поэтому C(4,0) = 1.

Произведение целых чисел

Факториал положительного целого $n$ — произведение всех целых чисел от $1$ до $n$ . Восклицательный знак является математическим обозначением, а не знаком эмоционального усиления: $4!=1\cdot2\cdot3\cdot4=24$ .

Значение $0!=1$ задаётся отдельно как пустое произведение. Комбинаторный смысл: пустую последовательность можно устроить одним способом — ничего не выбрать. Этот случай сохраняет формулы перестановок и сочетаний на границах.

Сокращение до вычисления

Факториалы растут быстро. Отношение $8!/6!$ лучше сократить до $8\cdot7$ , чем сначала вычислять оба больших числа. При сокращении учитывают всё произведение: знак факториала не распространяется на соседнюю сумму.

Записи $(n+1)!$ и $n!+1$ совершенно различны. Для $n=3$ первая равна $24$ , вторая $7$ . Аналогично $n!/k!$ не равно $(n-k)!$ в общем случае.

В школьном определении факториал не применяется к отрицательным целым и произвольным дробям. Продолжение через гамма-функцию — отдельная конструкция, которая не требуется для подсчёта конечных перестановок.

Почему он появляется

При размещении $n$ разных объектов в ряд первое место можно заполнить $n$ способами, второе $n-1$ , последнее одним. Правило произведения даёт $n!$ . Если объекты неразличимы, этот подсчёт завышает число разных рядов, и нужна поправка на повторения.

Три примера

$5!=120$ . Это число порядков пяти различных карточек.
$7!/5!=7\cdot6=42$ : общие первые пять множителей сокращаются.
$\binom40=4!/(0!\,4!)=1$ . Пустой выбор из четырёх объектов существует ровно один раз; значение $0!=1$ делает формулу согласованной.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

n!=1\cdot2\cdots n,\quad n\in\mathbb Z_{\ge1};\qquad0!=1

Формула словами: Факториал определён здесь для неотрицательных целых чисел.

n!=n(n-1)!,\qquad n\ge1

Формула словами: Рекуррентное соотношение отделяет последний множитель.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Комбинаторика

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.