Вероятность и статистика · Подсчёт вариантов

Перестановки без повторений

Упорядочиваем все различные объекты и следим, считаются ли позиции различимыми.

6 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Перестановки считают расстановки книг, очереди и полные порядки, а также служат основой для размещений и задач с блоками. Они учат проверять, используются ли все объекты и важны ли позиции.

Главная идея. Перестановка использует все n различных объектов ровно один раз и различает их линейный порядок. Число таких порядков равно n!, потому что свободных вариантов последовательно остаётся n, n−1, …, 1.

План рассуждения и проверка понимания

Убедитесь, что все объекты различны, используются целиком и места образуют различимый линейный ряд, а не круг с одинаковыми поворотами.
Перемножьте число возможностей для последовательных мест: n·(n−1)·…·1, учитывая фиксированные позиции или склеенные блоки.
Проверьте дополнительные условия и убедитесь, что один итоговый порядок не возникает из нескольких одинаковых представлений блоков.

Частая ошибка. Использовать n! при выборе и упорядочивании только части объектов или для повторяющихся букв, хотя в первой задаче остаются неиспользованные предметы, а во второй есть неразличимость.

Как проверить себя. Сначала ответьте на вопросы «все ли используются?» и «все ли различимы?»: только два положительных ответа и линейный порядок разрешают обычную формулу n!.

Схема к теме

Наглядная модель: Перестановки без повторений

Упорядочиваем все различные объекты и следим, считаются ли позиции различимыми.

1. Условия — что известно и что требуется
2. Модель — порядок, повторения и допустимые исходы
3. Подсчёт — каждый вариант учитывается один раз
4. Проверка — малый случай можно выписать вручную

Последовательность отделяет выбор модели от вычисления и не даёт потерять или повторно учесть варианты. Вывод: Сначала ответьте на вопросы о порядке и повторениях, только потом выбирайте формулу.

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Объясните подсчёт рассадок пяти разных людей, если двое должны сидеть рядом: почему их можно временно считать блоком, сколько объектов переставляется и откуда берётся множитель два.

В хорошем объяснении есть:

Два человека заменены одним блоком, поэтому переставляются четыре объекта.
Внутренние порядки пары учтены отдельно, и итог записан как 4!·2.

Каждый объект используется ровно один раз

Перестановка $n$ различных объектов — их расположение в линейном порядке. Используются все объекты, повторов нет, и смена хотя бы двух разных позиций создаёт новый вариант. Число перестановок равно $n!$ по правилу произведения.

Первое место имеет $n$ вариантов, второе $n-1$ , далее число свободных объектов уменьшается. Для нуля объектов есть одна пустая перестановка. Для одного объекта также один порядок.

Где проходит граница модели

Формула относится к различным объектам и различимым местам ряда. Если буквы повторяются, перестановка двух одинаковых букв не создаёт новое слово. Если рассадка круговая и повороты считаются одинаковыми, обычное $n!$ тоже требует изменения модели.

Условия вроде «два человека должны сидеть рядом» не исчезают при выборе факториала. Часто соседнюю группу рассматривают как один блок, считают порядок блоков и отдельно внутренний порядок группы. Обязательно проверить, не возникает ли одинаковое представление несколько раз.

Три примера

Четыре различные книги на полке можно расставить $4!=24$ способами.
Пять книг, одна заданная стоит первой: остальные четыре свободны, поэтому $4!=24$ вариантов.
У пяти разных книг две заданные должны стоять рядом в любом порядке. Склеиваем их в блок: четыре объекта располагаются $4!$ способами, внутри блока два порядка. Всего $48$ .

Типичная ошибка — считать выбор части объектов перестановкой всех. Если из пяти выбирают и упорядочивают только два, число вариантов $5\cdot4=20$ , а не $5!=120$ . Это размещения. Если порядок выбранной пары не важен, получится ещё меньше — сочетания.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

P_n=n!

Формула словами: Число линейных порядков всех n различных объектов.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Комбинаторика

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.