Вероятность и статистика · Статистика и данные

Среднеквадратическое отклонение

Разброс в исходных единицах, изменение масштаба и отличие от ошибки среднего.

6 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Показатель делает масштаб разброса интерпретируемым рядом со средним: сантиметры сравниваются с сантиметрами, а не с квадратными сантиметрами. Он нужен для сопоставления изменчивости и стандартизации.

Главная идея. Стандартное отклонение σ — неотрицательный квадратный корень из дисперсии. Оно возвращает разброс в исходные единицы величины и при преобразовании aX+b умножается на |a|, но не меняется от сдвига b.

План рассуждения и проверка понимания

Уточните, какая дисперсия дана или вычисляется — теоретическая, описательная с n или исправленная с n−1 — и сохраните это соглашение.
Возьмите неотрицательный квадратный корень из дисперсии и верните исходные единицы измерения вместо квадратных.
При линейном преобразовании умножьте σ на модуль масштаба |a|, проигнорируйте сдвиг b и проверьте неотрицательность результата.

Частая ошибка. Толковать стандартное отклонение как максимально возможное отклонение либо применять правило «около 68% внутри одной σ» к любому набору без нормальной модели.

Как проверить себя. σ задаёт характерный масштаб, а не жёсткую границу; правило 68% является свойством нормального распределения, для произвольного закона нужны другие гарантии.

Схема к теме

Наглядная модель: Среднеквадратическое отклонение

Разброс в исходных единицах, изменение масштаба и отличие от ошибки среднего.

A: 3 наблюдения — ниже общего уровня
B: 7 наблюдения — наибольшее значение
C: 5 наблюдения — между крайними

Одинаковая шкала помогает сравнить значения; точный вывод делают по числам, а не только по высоте столбиков. Вывод: Перед вычислением статистики проверьте шкалу, единицы и состав набора данных.

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Объясните, почему при Var(X)=4 величина Y=−3X+7 имеет стандартное отклонение 6: разберите действие множителя, знака и добавления семи.

В хорошем объяснении есть:

Из дисперсии 4 получено σX = 2, выбран неотрицательный корень.
Использован модуль коэффициента 3, а сдвиг 7 не включён в разброс.

Возвращаем исходные единицы

Среднеквадратическое, или стандартное, отклонение — квадратный корень из дисперсии. Дисперсия удобна для алгебры, но имеет квадрат единицы измерения. Корень возвращает исходную шкалу: для длины в сантиметрах стандартное отклонение тоже измеряется в сантиметрах.

Величина $\sigma$ неотрицательна. Она равна нулю для постоянной случайной величины и растёт при растяжении шкалы. Для данных сначала необходимо выбрать, какая дисперсия используется: описательная с делителем $n$ или исправленная с $n-1$ . Корень наследует это соглашение.

Что значит «типичный разброс»

Стандартное отклонение служит масштабом отклонений, но не максимальным расстоянием от среднего. Правило о примерно 68% внутри одного стандартного отклонения относится к нормальному распределению, а не к любому набору. Без знания формы закона универсальные гарантии дают более грубые неравенства.

Три примера

Если дисперсия длины равна 9 квадратных сантиметров, стандартное отклонение равно 3 сантиметрам.
У величины $X$ стандартное отклонение 2. Для $Y=-3X+7$ оно равно $|-3|\cdot2=6$ . Отрицательное стандартное отклонение невозможно.
В числовом наборе 2, 2, 6, 6 среднее равно 4, описательная дисперсия равна 4, стандартное отклонение — 2. Все четыре значения здесь отклонены ровно на одну такую величину.

Не смешивайте с ошибкой среднего

Стандартное отклонение данных описывает отдельные наблюдения. Стандартная ошибка среднего характеризует разброс средних между повторными выборками; при независимых одинаково распределённых наблюдениях она равна $\sigma/\sqrt n$ . Увеличение размера выборки не обязано уменьшать разброс самих объектов, хотя среднее обычно становится точнее. Различие особенно важно при подписи планок погрешности на графиках.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

\sigma_X=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}

Формула словами: Неотрицательный квадратный корень из дисперсии; единицы совпадают с единицами X.

\sigma_{aX+b}=|a|\sigma_X

Формула словами: Сдвиг не влияет, масштаб действует своим модулем.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Описательная статистика Стандартное отклонение

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.