Вероятность и статистика · Распределения

Гипергеометрическое распределение

Подсчёт целевых объектов в выборке без возвращения, границы носителя и поправка конечной совокупности.

8 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Она даёт точный закон контроля партии, отбора карт или шаров и учитывает зависимость извлечений через сочетания и поправку конечной совокупности.

Главная идея. Гипергеометрическая величина считает целевые объекты в выборке n из конечной совокупности N с K целевыми, когда элементы извлекают без возвращения и шансы после каждого шага меняются.

План рассуждения и проверка понимания

Проверьте целочисленные ограничения N ≥ 1, 0 ≤ K ≤ N и 0 ≤ n ≤ N, а также равновероятность всех наборов размера n.
Найдите носитель: k лежит от max(0, n − N + K) до min(n, K), поэтому ноль не всегда является возможным результатом.
Для ровно k выберите C(K,k) целевых и C(N − K,n − k) остальных, затем разделите на число всех наборов C(N,n).
Сравните Var(X) с биномиальной: множитель (N − n)/(N − 1) уменьшает разброс из-за отбора без возвращения.

Частая ошибка. Подменять отбор без возвращения независимыми испытаниями с постоянным p = K/N или считать нижнюю границу числа успехов всегда равной нулю.

Как проверить себя. После каждого извлечения состав совокупности меняется. Если выборка больше числа нецелевых объектов, некоторое количество целевых неизбежно попадёт в неё.

Схема к теме

Наглядная модель: Гипергеометрическое распределение

Подсчёт целевых объектов в выборке без возвращения, границы носителя и поправка конечной совокупности.

Гипергеометрическое распределение → гипергеометрическое
Гипергеометрическое распределение → без возвращения
Гипергеометрическое распределение → урна
Гипергеометрическое распределение → сочетания

Схема связывает понятие «Гипергеометрическое распределение» с его ключевыми признаками. Вывод: Свяжите определение, условия и обозначения: тогда формула станет краткой записью уже понятной идеи.

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Для урны с тремя белыми и двумя чёрными шарами объясните, почему при выборе двух без возвращения P(X = 2) = 3/10, а биномиальный ответ был бы иной.

В хорошем объяснении есть:

Использовано C(3,2)C(2,0)/C(5,2).
Показана та же вероятность последовательным произведением 3/5·2/4.
Объяснена зависимость второго извлечения.

Выбор без возвращения меняет шансы

В совокупности N объектов, из них K помечены как целевые. Равномерно выбирают n различных объектов без возвращения и считают число целевых X. Например, отбирают несколько изделий из партии или вытягивают карты из хорошо перемешанной колоды.

Параметры N, K, n — целые, $N\ge1$ , $0\le K\le N$ , $0\le n\le N$ . В обозначениях официальной документации R число белых равно K, число чёрных N − K, а размер выборки n: совпадение букв в разных источниках не гарантирует совпадения смысла.

Подсчёт через наборы

Всего наборов размера n имеется $\binom Nn$ . Для ровно k целевых выбираем их из K, а оставшиеся n − k объектов — из N − K нецелевых. Число подходящих наборов равно произведению двух сочетаний. Деление на число всех наборов даёт вероятность.

Нижняя граница X не всегда ноль. Если извлекаем больше, чем имеется нецелевых, часть целевых попадёт в выборку обязательно. Верхняя граница ограничена и числом извлечений, и запасом целевых.

Ожидание и зависимость

Каждая позиция случайной выборки имеет маргинальный шанс K/N оказаться целевой, поэтому среднее число целевых равно nK/N. Но после успеха целевых остаётся меньше: индикаторы позиций зависимы. Дисперсия биномиальной модели с p = K/N умножается на поправку $(N-n)/(N-1)$ .

Когда n = N, мы осматриваем всю совокупность и X = K точно: разброс нулевой. При N = 1 формула поправки имеет нулевой знаменатель, поэтому используем прямой факт постоянства X, а не подставляем 0/0.

Три примера

Два шара из пяти. В урне 3 белых и 2 чёрных шара. Для ровно двух белых в двух извлечениях вероятность C(3,2)C(2,0)/C(5,2) = 3/10. То же значение получается последовательно: (3/5)(2/4) = 3/10.
Хотя бы один белый. В той же урне и выборке исключаем два чёрных. Вероятность P(X = 0) = C(3,0)C(2,2)/C(5,2) = 1/10. Следовательно, P(X ≥ 1) = 9/10. Если ошибочно вернуть первый шар, получится другая модель и ответ 1 − (2/5)² = 21/25.
Большая доля совокупности. Из N = 10 объектов, K = 4 целевых, выбирают n = 8. Целевых не меньше 8 − 6 = 2 и не больше 4. Среднее равно 3,2, дисперсия 8 · 0,4 · 0,6 · 2/9 = 32/75 ≈ 0,426667. Биномиальная модель дала бы 1,92 и существенно завысила бы разброс.

Что именно считается случайным

Наборы должны быть равновероятными. Если тяжёлые шары легче достать или отбор специально предпочитает целевые изделия, формула сочетаний уже не описывает механизм. Необходимо также фиксировать N и K до отбора; оценённое по данным K не становится точным параметром автоматически.

В исследователе попробуйте n = 0, n = N и K = 0: все три настройки дают постоянный результат, но разные значения постоянной. Затем сравните небольшую и большую долю отбора. Все вероятности считаются по полному допустимому носителю; ограничение окна графика не меняет численный ответ.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

P(X=k)=\frac{\binom Kk\binom{N-K}{n-k}}{\binom Nn}

Формула словами: N объектов, K целевых, выборка n без возвращения.

\max(0,n-N+K)\le k\le\min(n,K)

Формула словами: Точные целые границы носителя.

\mathbb E X=n\frac KN,\quad D(X)=n\frac KN\left(1-\frac KN\right)\frac{N-n}{N-1}

Формула словами: Для N > 1; при N = 1 допустимые модели постоянны и дисперсия 0.

Исследуйте модель

Параметры модели

Гипергеометрическое

Дискретное

K ≤ N, n ≤ N. Все наборы из n различных объектов равновероятны; возвращения нет.

P(X=k)=\frac{\binom Kk\binom{N-K}{n-k}}{\binom Nn}

Пределы полей — вычислительные ограничения исследователя, а не область существования математического закона. Носитель: целые значения в [0; 5].

Форма распределения

Высота столбика — вероятность ровно одного целого значения. Сумма всех вероятностей на полном носителе равна 1.

За пределами окна: слева 0 %, справа 0,135449 %. Ось ограничена окном, но CDF, интервалы и генератор используют весь носитель. По умолчанию окно берётся по квантилям 0,005 и 0,995; для конечного непрерывного носителя — весь носитель. Дискретный график ограничен 200 значениями.

Числовая таблица графика (5 точек)

x	P(X=x)
0	0,083011
1	0,32282
2	0,387384
3	0,176084
4	0,029347

Точка и интервал

Точка xИнтервал: левая границаИнтервал: правая граница

P(X = 2): 38,73839 %
P(X ≤ 2): 79,321465 %
P(X > 2): 20,678535 %
P(0 ≤ X ≤ 4): 99,864551 %

Границы интервала включены. Для дискретного закона учитываются только целые точки внутри него; для непрерывного включение концов не меняет вероятность.

Что предсказывает модель

Математическое ожидание E(X): 1,75
Дисперсия D(X): 0,898026

Ожидание — характеристика распределения, а не обещанный результат одного опыта. Конечная выборка имеет своё среднее даже тогда, когда теоретическое среднее не существует.

CDF и правый хвост вычисляются отдельно, чтобы сохранять малые вероятности. Значения ниже предела чисел двойной точности могут округляться до 0; квантили у границ также ограничены машинной точностью.

От модели к данным

Сгенерировать выборку

До 100 000 наблюдений

Независимые псевдослучайные наблюдения в отдельном рабочем потоке. Один seed и те же параметры воспроизводят тот же ряд. Это учебный, не криптографический генератор.

Размер выборки

Повторить результат по ключу

Seed — начальное значениеПустое поле — новая случайная серия. Для точного повтора укажите ключ из сохранённых результатов и те же параметры.

Опыт оживает на весь экран

Кнопка «Сгенерировать» создаёт весь указанный объём. Отдельное наблюдение показывает один результат с анимацией. CSV содержит всю показанную выборку.

Выборка ещё не создана.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Лаборатория: Урна с шарами Комбинаторика

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.

R stats: Hypergeometric Distribution (откроется в новой вкладке)