Умблик
Высшая математика
Преобразования
Вероятность и статистика · Преобразования

Преобразования распределений

Как найти закон функции случайной величины, не потеряв ветви и границы.

10 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Метод сохраняет носитель и вероятность при смене шкалы, учитывает несколько прообразов и работает через CDF даже без плотности или взаимной однозначности.

Главная идея. Закон Y = g(X) надёжнее всего искать через событие g(X) ≤ y. Для гладкой монотонной ветви плотность дополнительно получает множитель |d g⁻¹(y)/dy|.

План рассуждения и проверка понимания
  1. Начните с определения носителя Y и перепишите событие {g(X) ≤ y} как условие на X, разбирая интервалы значений y отдельно.
  2. Вычислите CDF новой величины по закону X; этот путь автоматически показывает точки скачков, границы и объединение ветвей.
  3. Если преобразование гладкое и взаимно однозначное, найдите g⁻¹ и умножьте исходную плотность на модуль производной обратной функции.
  4. При нескольких прообразах сложите вклады всех допустимых ветвей, затем проверьте неотрицательность и то, что полный интеграл равен единице.

Частая ошибка. Для Y = X² учитывать только положительный корень или при линейном растяжении забывать деление плотности на абсолютное значение масштаба.

Как проверить себя. Каждый прообраз нового значения вносит свою массу. Для Y = aX + b плотность равна fX((y − b)/a)/|a|, что сохраняет площадь.

Схема к теме

Наглядная модель: Преобразования распределений

Как найти закон функции случайной величины, не потеряв ветви и границы.

Наглядная модель: Преобразования распределенийКак найти закон функции случайной величины, не потеряв ветви и границы.Преобразованияраспределенийmeasurable-variablescdfdensityПреобразованияраспределений
  • Преобразования распределений → Преобразования распределений
  • Преобразования распределений → measurable-variables
  • Преобразования распределений → cdf
  • Преобразования распределений → density
Схема связывает понятие «Преобразования распределений» с его ключевыми признаками. Вывод: Свяжите определение, условия и обозначения: тогда формула станет краткой записью уже понятной идеи.
Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Для X ~ U(−1,1) выведите CDF величины Y = X² и объясните, почему две ветви приводят к F_Y(y) = √y на 0 ≤ y ≤ 1.

В хорошем объяснении есть:

  • Событие X² ≤ y превращено в |X| ≤ √y.
  • Учтён интервал от −√y до √y.
  • Плотность 1/(2√y) рассматривается только внутри (0,1).

Начните с события

Самый надёжный способ найти закон Y=g(X) — записать событие g(X)≤y и выразить его через X. После вычисления вероятности получаем CDF нового закона. Этот метод помогает правильно определить носитель и не требует существования плотности.

Гладкое взаимно однозначное преобразование

Если X имеет плотность, а g на носителе строго монотонна, гладка и имеет гладкую обратную функцию с ненулевой производной, плотность нового закона получается заменой переменной. Модуль производной обратной функции учитывает растяжение оси и сохраняет вероятность интервалов. Без него общая площадь обычно не равна 1.

Для Y=aX+b при a≠0 плотность равна fX((y−b)/a)/|a|. Если a=0, новая величина постоянна: возникает точечная масса, а не обычная плотность.

Несколько прообразов

Квадрат функции не является взаимно однозначным на всей прямой. Для положительного y могут быть две ветви, положительная и отрицательная; нужно учесть обе. В дискретном случае массы всех исходных значений, попавших в одно новое значение, также складываются.

Проверка результата

Укажите область определения формулы, проверьте неотрицательность и интеграл 1, а затем сравните CDF в нескольких простых точках. Плотность может быть бесконечной на отдельной границе и всё же интегрируемой. Не заменяйте такую особенность произвольным большим конечным числом в математическом утверждении.

Три примера

  1. U равномерна на [0,1], Y=2U+3. Носитель [3,5], плотность 1/2, поскольку растяжение вдвое уменьшает высоту вдвое.
  2. X равномерна на [−1,1], Y=X². Для 0≤y≤1 вероятность |X|≤√y равна √y; внутри (0,1) плотность 1/(2√y).
  3. Если X=−2 или 2 с вероятностями 0,4 и 0,6, то Y=X² всегда равна 4: обе исходные массы объединяются.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

fY(y)=fX(g−1(y))∣ddyg−1(y)∣f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))\left|\frac{d}{dy}g^{-1}(y)\right|

Формула словами: Формула для Y=g(X) на монотонной гладкой ветви с корректной обратной функцией; при нескольких ветвях складывают их вклады.

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Открываем задание…

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.