Умблик
Высшая математика
Основы вероятности
Вероятность и статистика · Основы вероятности

Случайная величина как измеримая функция

Число, вычисленное по исходу, должно быть совместимо с доступной информацией.

9 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Измеримость гарантирует, что вопросы о числовом наблюдении имеют вероятности, связывает исходы с законом величины и сохраняется при обычных преобразованиях.

Главная идея. Случайная величина — измеримая функция X: Ω → R: для каждого борелевского множества B прообраз X⁻¹(B) обязан быть событием из доступной сигма-алгебры F.

План рассуждения и проверка понимания
  1. Разделите три уровня: элементарный исход ω, вычисленное значение X(ω) и распределение этих значений под мерой P.
  2. Для вещественной X проверяйте события {X ≤ x} для всех x; их принадлежность F достаточна для борелевской измеримости.
  3. На конечной сигма-алгебре найдите атомы информации и убедитесь, что X постоянна внутри каждого атома, который наблюдатель не умеет разделять.
  4. Для Y = g(X) используйте борелевскую измеримость g и композицию прообразов, чтобы доказать, что новая величина также измерима.

Частая ошибка. Считать любую числовую функцию случайной величиной независимо от набора доступных событий или отождествлять одинаковые законы с равенством функций.

Как проверить себя. Если известна только чётность кубика, точное число очков не постоянно на атомах и не измеримо относительно этой информации. Одинаковый закон не фиксирует значения на каждом ω.

Схема к теме

Наглядная модель: Случайная величина как измеримая функция

Число, вычисленное по исходу, должно быть совместимо с доступной информацией.

Наглядная модель: Случайная величина как измеримая функцияЧисло, вычисленное по исходу, должно быть совместимо с доступной информацией.Случайнаявеличина как…sigma-algebrasrandom-variableСлучайнаявеличина какизмеримая функция
  • Случайная величина как измеримая функция → Случайная величина как измеримая функция
  • Случайная величина как измеримая функция → sigma-algebras
  • Случайная величина как измеримая функция → random-variable
Схема связывает понятие «Случайная величина как измеримая функция» с его ключевыми признаками. Вывод: Свяжите определение, условия и обозначения: тогда формула станет краткой записью уже понятной идеи.
Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

При информации только о чётности кубика сравните измеримость индикатора чётности и точного числа очков, перечислив атомы сигма-алгебры.

В хорошем объяснении есть:

  • Выделены атомы {1,3,5} и {2,4,6}.
  • Индикатор постоянен на каждом атоме.
  • Точное число очков внутри атома меняется.

Числовое наблюдение

Случайная величина — функция исхода, например число орлов или сумма очков. Но в строгой теории недостаточно просто задать числовую таблицу: вопросы о её значении должны принадлежать сигма-алгебре событий. Это требование называют измеримостью.

Определение

Функция X:Ω→RX:\Omega\to\mathbb R измерима, если прообраз каждого борелевского множества является событием. Для вещественной функции достаточно проверить события {X≤x}\{X\le x\} для всех вещественных x. Закон X — образ вероятностной меры: он присваивает множеству B вероятность того, что значение X принадлежит B.

Информация ограничивает наблюдение

На конечной сигма-алгебре функция измерима тогда и только тогда, когда постоянна на каждом её атоме. Если доступна только чётность кубика, индикатор чётности измерим, а точное число очков — нет. При полной сигма-алгебре конечного пространства любая вещественная функция измерима.

Почему преобразования допустимы

Если X измерима, а g — борелевская функция, то g(X) также измерима: прообраз множества через композицию берётся в два шага. Поэтому обычные суммы, произведения, абсолютное значение и индикаторы порогов снова дают случайные величины. Это доказательство через прообразы не требует, чтобы X имела плотность.

Не путайте исход, значение и закон. Две разные функции могут иметь одинаковое распределение, а одинаковое распределение само по себе не означает равенства функций на одном пространстве.

Три примера

  1. Для честного кубика X — индикатор события «больше 4». Значения 0 и 1 имеют вероятности 2/3 и 1/3.
  2. Если известна только чётность, функция X=0 на нечётных и X=10 на чётных измерима. Функция X=число очков не постоянна на атомах.
  3. При равномерном U на [0,1] величина U² измерима. Для 0≤t≤1 её CDF равна √t, так как U²≤t эквивалентно U≤√t.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

X−1(B)∈Fдля каждого B∈B(R)X^{-1}(B)\in\mathcal F\quad\text{для каждого }B\in\mathcal B(\mathbb R)

Формула словами: Прообраз борелевского множества должен быть событием исходного вероятностного пространства.

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Открываем задание…

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.