Дроби, отношения и пропорции · 6 класс

$Умблик показывает математические модели на доске$

Посмотрите на идеюДроби, отношения и пропорции

На рисунке правило превращается в модель: отметьте известные элементы, связь между ними и только затем переходите к буквенной записи.

Главная идея

Что нужно понять

Дробь a/b при b ≠ 0 означает результат деления a на b; процент — одна сотая часть величины.

Для сложения дробей их приводят к общему знаменателю, а для нахождения p процентов от числа умножают число на p/100.

Отношение a : b сравнивает две величины делением и имеет смысл только после согласования единиц. Пропорция утверждает равенство двух отношений, а её основное свойство даёт ad = bc.

В действиях с дробями общий знаменатель нужен для сложения и сравнения, но при умножении перемножают числители и знаменатели. Сокращать можно общие множители числителя и знаменателя, а не слагаемые.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Дробь обозначает и результат деления, и часть единицы. Общий знаменатель разбивает сравниваемые доли на одинаковые части; только после этого их числители можно складывать или сравнивать.

Схема к теме

Алгоритм: Дроби, отношения и пропорции

Дробь a/b при b ≠ 0 означает результат деления a на b; процент — одна сотая часть величины.

1. Определить — целое и искомую часть
2. Перевести — проценты или отношения в дробь
3. Выполнить — действие и проверить смысл результата

Шаги расположены в том порядке, в котором их нужно выполнять. Вывод: Для сложения дробей их приводят к общему знаменателю, а для нахождения p процентов от числа умножают число на p/100.

Опорная формула

p\%\text{ от }a=\frac{p}{100}\,a

Формула словами

Чтобы найти p процентов от числа a, нужно p разделить на сто и умножить полученную долю на a.

Нахождение процента от величины.

Расшифровка

Обозначения и термины

a/b: a — числитель, b — знаменатель, b ≠ 0
p%: p сотых долей, то есть p/100
a : b: отношение величины a к величине b
НОЗ: наименьший общий знаменатель

Алгоритм

Как решать задачи

определить целое и искомую часть
перевести проценты или отношения в дробь
выполнить действие и проверить смысл результата

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Найдите 15% от 200.

15% = 15/100 = 0,15.
Умножаем 200 · 0,15.

Ответ: 30

Пример 2

Найдите 15% от 240.

15% = 15/100 = 0,15.
Умножаем целое на долю: 240 · 0,15.
Получаем 36.

Ответ: 36

Самопроверка

Типичные ошибки

делить на процент вместо умножения
складывать дроби без общего знаменателя
не указывать, какая величина принята за 100%

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Представьте, что вы объясняете тему «Дроби, отношения и пропорции» ученику младше вас. Расскажите, что означает правило, почему оно работает и как не допустить первую типичную ошибку: делить на процент вместо умножения

В хорошем объяснении есть:

Вы объяснили главную идею без дословного пересказа: Дробь a/b при b ≠ 0 означает результат деления a на b; процент — одна сотая часть величины.
Вы расшифровали математическую запись словами: Чтобы найти p процентов от числа a, нужно p разделить на сто и умножить полученную долю на a.
Вы придумали собственный пример, выполнили алгоритм и проверили, соответствует ли ответ условию.

Закрепление материала

Мини-тест

Выберите ответ на каждый вопрос. Объяснения откроются после проверки.

Открываем мини-тест…