Проценты и масштаб

Главная идея

Что нужно понять

Один процент — одна сотая целого. Масштаб 1 : n означает, что одна единица длины на плане соответствует n таким же единицам на местности.

Если целое равно A, а часть составляет p%, то часть B = A · p/100; обратно A = B · 100/p при p > 0. Доля части в процентах равна 100 · B/A при A > 0. При росте на p% новое значение равно A · (1 + p/100), при снижении — A · (1 − p/100); чтобы найти прежнее значение, делят новое на соответствующий коэффициент. Процент роста равен 100 · (новое − прежнее)/прежнее, процент снижения — 100 · (прежнее − новое)/прежнее. При нескольких изменениях перемножают их коэффициенты. Если две части относятся как a : b, доля второй равна b/(a + b). В масштабе 1 : n длину на плане умножают на n после согласования единиц.

Один процент — одна сотая целого; поэтому всегда нужно явно установить, какая величина принята за 100%. Увеличение на p% и нахождение p% от числа — разные операции.

Масштаб 1 : n означает, что одна единица на плане соответствует n таким же единицам на местности. Перед умножением или делением длины переводят в одинаковые единицы.

Обоснование

Почему это работает

Процент всегда относится к выбранному целому: 20% от 800 — это 160, поэтому после скидки остаётся 640. Обратный расчёт — 640 : 0,8 = 800, а не прибавление 20% к новой цене. Рост с 400 до 500 составляет (500 − 400) : 400 · 100 = 25%, потому что за 100% взята старая цена. Последовательные скидки 20% и 10% дают множитель 0,8 · 0,9 = 0,72, то есть общее снижение 28%, а не 30%. Если части относятся как 2 : 3, в целом пять равных долей, и вторая часть составляет 3/5 = 60%. На плане 1 : 200 отрезок 3,5 см соответствует 700 см = 7 м; нельзя умножать сантиметры на метры без перевода единиц.

Опорная формула

A

целое или прежняя величина, принимаемая за 100%

B

искомая или известная часть целого

p%

p/100 от выбранного целого

1 ± p/100

коэффициент роста или снижения величины

1 : n

масштаб: отношение длины на плане к длине на местности в одинаковых единицах

Алгоритм

Как решать задачи

1. определить целое и искомую часть
2. согласовать единицы величин и установить, что принято за 100%
3. перевести проценты или отношение в дробь и записать равенство
4. найти неизвестную величину; при последовательных изменениях перемножить коэффициенты
5. подставить результат в исходное равенство и округлить только по требованию условия

Самопроверка

Типичные ошибки

• не устанавливать, какая величина принята за 100%
• при обратном расчёте прибавлять процент к новой цене вместо деления на коэффициент
• складывать последовательные процентные изменения вместо перемножения коэффициентов
• подставлять в масштаб длины в разных единицах