Положительные и отрицательные числа
Будем сравнивать числа с разными знаками и выполнять действия, объясняя знак результата.
На рисунке правило превращается в модель: отметьте известные элементы, связь между ними и только затем переходите к буквенной записи.
Главная идея
Что нужно понять
Положительные числа расположены на координатной прямой справа от нуля, отрицательные — слева. Ноль не является ни положительным, ни отрицательным. Модуль числа — его расстояние до нуля.
При сложении разных знаков вычитают меньший модуль из большего и берут знак числа с большим модулем; при равных модулях получают ноль. Вычитание заменяют прибавлением противоположного числа. Произведение ненулевых чисел одинаковых знаков положительно, разных — отрицательно.
Знак числа показывает положение относительно нуля на координатной прямой, а модуль — расстояние до нуля. Противоположные числа имеют равные модули и сумму, равную нулю.
При сложении чисел разных знаков из большего модуля вычитают меньший и сохраняют знак числа с большим модулем. Вычитание заменяют прибавлением противоположного числа.
Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.
Обоснование
Почему это работает
Отрицательные числа описывают, например, температуру ниже нуля или изменение величины в сторону уменьшения. Модуль показывает расстояние, а знак — направление. Разделяя эти две роли, можно проверить и величину, и знак ответа.
Алгоритм: Положительные и отрицательные числа
Положительные числа расположены на координатной прямой справа от нуля, отрицательные — слева. Ноль не является ни положительным, ни отрицательным. Модуль числа — его расстояние до нуля.
- 1. Определить — порядок действий, знаки чисел и их модули
- 2. Заменить — вычитание прибавлением противоположного числа там, где это удобно
- 3. Выполнить — действия по правилам знаков и проверить результат
Опорная формула
У двенадцати модуль больше, чем у минус семи, поэтому их сумма равна положительному числу пять. Из пяти вычитаем девять и получаем минус четыре.
Последовательное сложение и вычитание целых чисел.Расшифровка
Обозначения и термины
- −7
- отрицательное число: семь единиц слева от нуля
- |−7| = 7
- расстояние от −7 до нуля равно семи
- −a
- число, противоположное a; его знак зависит от a
- a − b
- то же значение, что a + (−b)
Алгоритм
Как решать задачи
- определить порядок действий, знаки чисел и их модули
- заменить вычитание прибавлением противоположного числа там, где это удобно
- выполнить действия по правилам знаков и проверить результат
От простого к сложному
Подробные примеры
Вычислите −7 + 12 − 9.
- В сумме −7 + 12 больший модуль равен 12, поэтому результат положителен: 12 − 7 = 5.
- Вычитаем 9: 5 + (−9) = −4.
- Проверка: −4 + 9 = 5.
Ответ: −4
Вычислите (−6) · 4 − (−8).
- Произведение чисел разных знаков отрицательно: (−6) · 4 = −24.
- Вычитание −8 заменяем прибавлением 8: −24 + 8.
- Больший модуль — 24, поэтому ответ отрицателен: −(24 − 8) = −16.
Ответ: −16
Самопроверка
Типичные ошибки
- Считать ноль положительным или отрицательным числом.
- Складывать модули чисел разных знаков вместо нахождения их разности.
- При вычитании отрицательного числа сохранять минус: −(−8) равно +8.
Проверка пониманияОбъясните тему своими словами
Представьте, что вы объясняете тему «Положительные и отрицательные числа» ученику младше вас. Расскажите, что означает правило, почему оно работает и как не допустить первую типичную ошибку: Считать ноль положительным или отрицательным числом.
В хорошем объяснении есть:
- Вы объяснили главную идею без дословного пересказа: Положительные числа расположены на координатной прямой справа от нуля, отрицательные — слева. Ноль не является ни положительным, ни отрицательным. Модуль числа — его расстояние до нуля.
- Вы расшифровали математическую запись словами: У двенадцати модуль больше, чем у минус семи, поэтому их сумма равна положительному числу пять. Из пяти вычитаем девять и получаем минус четыре.
- Вы придумали собственный пример, выполнили алгоритм и проверили, соответствует ли ответ условию.
Закрепление материала
Мини-тест
Выберите ответ на каждый вопрос. Объяснения откроются после проверки.
Открываем мини-тест…