УмбликМатематика
К маршруту 11 класса
Математика11 классБазовый курс 6 подробных конспектовНагрузка предмета в 11 классе: 170 ч: алгебра и анализ 102, геометрия 34, вероятность и статистика 3412 заданий и разборов

Статистика и предельные закономерности

Показательные и логарифмические модели, производная, интеграл и статистический вывод.

Модуль школьной программы

Результат модуля

Что вы научитесь делать

  • Объяснять тему «ожидание и дисперсия», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
  • Объяснять тему «выборки и закон больших чисел», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
  • Объяснять тему «нормальное распределение», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ

Модуль рассчитан не на беглое чтение, а на несколько занятий. Сначала разберите теорию и примеры, затем решите задания без подсказки и только после этого отметьте модуль изученным.

Подробная теория

Конспекты, формулы и разобранные задачи

Ниже собраны все опорные материалы модуля. Каждый конспект объясняет смысл правила, показывает алгоритм применения и разбирает задачу по шагам. Отдельные уроки остаются доступны для повторения и дополнительной практики.

1

Вероятность и статистика · конспект

Математическое ожидание

Теоретическое среднее случайной величины, линейность и отличие от гарантированного результата.

Простыми словами

Статистика сжимает набор наблюдений до нескольких понятных характеристик. Среднее описывает общий уровень, показатели разброса — насколько сильно значения отличаются друг от друга.

Опорные записи

Формулы и условия применения

E[X]=∑ixipiE[X]=\sum_i x_ip_i

Для конечного закона; в счётном случае конечное ожидание гарантирует сумма |xᵢ|pᵢ < ∞.

E[aX+bY+c]=aE[X]+bE[Y]+cE[aX+bY+c]=aE[X]+bE[Y]+c

Линейность для величин с конечными ожиданиями; независимость не нужна.

Алгоритм

Как перейти от условия к ответу

  1. Уточните объём набора, единицы измерения и вид характеристики; не смешивайте сумму значений, среднее и отклонения от среднего.
  2. Запишите промежуточные величины и выполните вычисления по шагам, не меняя смысл события или статистического показателя.
  3. Сравните результат с минимумом, максимумом и масштабом данных; характеристика должна иметь правильные единицы.

Разобранный пример

X принимает 0 и 6 с вероятностями 0.5 и 0.5. Найдите E[X].

Простой уровень

Подсказка: Взвесьте значения их вероятностями.

  1. E[X]=0·0.5+6·0.5.
  2. Ожидание равно 3.

Ответ: 3

Что проверить перед ответом

  • Не начинайте вычисления, пока не определили смысл величин в теме «Математическое ожидание».
  • Не применяйте формулу без проверки её условий: Уточните объём набора, единицы измерения и вид характеристики; не смешивайте сумму значений, среднее и отклонения от среднего.
  • После вычисления выполните смысловую проверку: Сравните результат с минимумом, максимумом и масштабом данных; характеристика должна иметь правильные единицы.
Попробуйте самостоятельно

E[X]=4. Найдите E[3X−5].

Сначала решите без подсказки. После этого раскройте пошаговый разбор и сопоставьте переходы со своей записью.

Показать подсказку и решение

Примените линейность ожидания.

  1. E[3X−5]=3E[X]−5.
  2. 3·4−5=7.

Ответ: 7

Полная статья и три уровня задач

2

Вероятность и статистика · конспект

Дисперсия

Теоретический разброс вокруг ожидания, удобная вычислительная формула и свойства.

Простыми словами

Статистика сжимает набор наблюдений до нескольких понятных характеристик. Среднее описывает общий уровень, показатели разброса — насколько сильно значения отличаются друг от друга.

Опорные записи

Формулы и условия применения

Var⁡(X)=E[(X−E[X])2]=E[X2]−(E[X])2\operatorname{Var}(X)=E[(X-E[X])^2]=E[X^2]-(E[X])^2

Для величины с конечным вторым моментом.

Var⁡(aX+b)=a2Var⁡(X)\operatorname{Var}(aX+b)=a^2\operatorname{Var}(X)

Сдвиг не меняет разброс, масштабирование действует квадратом.

Алгоритм

Как перейти от условия к ответу

  1. Уточните объём набора, единицы измерения и вид характеристики; не смешивайте сумму значений, среднее и отклонения от среднего.
  2. Запишите промежуточные величины и выполните вычисления по шагам, не меняя смысл события или статистического показателя.
  3. Сравните результат с минимумом, максимумом и масштабом данных; характеристика должна иметь правильные единицы.

Разобранный пример

X принимает 1 и 3 с равными вероятностями. Найдите дисперсию.

Простой уровень

Подсказка: Сначала найдите ожидание 2.

  1. Отклонения −1 и 1, квадраты равны 1.
  2. Средний квадрат равен 1.

Ответ: 1

Что проверить перед ответом

  • Не начинайте вычисления, пока не определили смысл величин в теме «Дисперсия случайной величины».
  • Не применяйте формулу без проверки её условий: Уточните объём набора, единицы измерения и вид характеристики; не смешивайте сумму значений, среднее и отклонения от среднего.
  • После вычисления выполните смысловую проверку: Сравните результат с минимумом, максимумом и масштабом данных; характеристика должна иметь правильные единицы.
Попробуйте самостоятельно

X — индикатор с P(X=1)=0.4. Найдите Var(X).

Сначала решите без подсказки. После этого раскройте пошаговый разбор и сопоставьте переходы со своей записью.

Показать подсказку и решение

Для индикатора дисперсия p(1−p).

  1. p=0.4, 1−p=0.6.
  2. Var(X)=0.4·0.6=0.24.

Ответ: 0.24

Полная статья и три уровня задач

3

Вероятность и статистика · конспект

Выборочная дисперсия

Почему встречаются делители n и n−1 и какую величину вычисляет каждая формула.

Простыми словами

Статистика сжимает набор наблюдений до нескольких понятных характеристик. Среднее описывает общий уровень, показатели разброса — насколько сильно значения отличаются друг от друга.

Опорные записи

Формулы и условия применения

v=1n∑i=1n(xi−xˉ)2v=\frac1n\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2

Описательный разброс данного непустого набора; делитель n.

S2=1n−1∑i=1n(xi−xˉ)2S^2=\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2

Исправленная оценка неизвестной дисперсии; n ≥ 2, несмещённость требует i.i.d. наблюдений с конечной дисперсией.

Алгоритм

Как перейти от условия к ответу

  1. Уточните объём набора, единицы измерения и вид характеристики; не смешивайте сумму значений, среднее и отклонения от среднего.
  2. Запишите промежуточные величины и выполните вычисления по шагам, не меняя смысл события или статистического показателя.
  3. Сравните результат с минимумом, максимумом и масштабом данных; характеристика должна иметь правильные единицы.

Разобранный пример

Для набора 0, 4 найдите описательную дисперсию с делителем n.

Простой уровень

Подсказка: Среднее равно 2.

  1. Квадраты отклонений 4 и 4; сумма 8.
  2. v=8/2=4.

Ответ: 4

Что проверить перед ответом

  • Не начинайте вычисления, пока не определили смысл величин в теме «Дисперсия набора и исправленная оценка».
  • Не применяйте формулу без проверки её условий: Уточните объём набора, единицы измерения и вид характеристики; не смешивайте сумму значений, среднее и отклонения от среднего.
  • После вычисления выполните смысловую проверку: Сравните результат с минимумом, максимумом и масштабом данных; характеристика должна иметь правильные единицы.
Попробуйте самостоятельно

Для набора 1, 2, 3 найдите исправленную дисперсию с делителем n−1.

Сначала решите без подсказки. После этого раскройте пошаговый разбор и сопоставьте переходы со своей записью.

Показать подсказку и решение

Сумма квадратов отклонений от среднего 2 равна 2.

  1. n=3, делитель n−1=2.
  2. S²=2/2=1.

Ответ: 1

Полная статья и три уровня задач

4

Вероятность и статистика · конспект

Теорема Бернулли

Строгая связь частоты успеха с вероятностью в независимой серии и конечная оценка точности.

Простыми словами

Теорема связывает условия модели с гарантированным выводом. Она работает только при выполнении всех предпосылок, поэтому их проверка важнее механической подстановки.

Опорные записи

Формулы и условия применения

P(∣Snn−p∣≥ε)≤p(1−p)nε2⟶0P\left(\left|\frac{S_n}{n}-p\right|\ge\varepsilon\right)\le\frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2}\longrightarrow0

Независимые испытания с постоянной вероятностью p; ε>0 фиксировано, Sₙ — число успехов.

Алгоритм

Как перейти от условия к ответу

  1. Сопоставьте каждое условие теоремы с данными задачи и отдельно отметьте, к какой величине относится вывод.
  2. Запишите промежуточные величины и выполните вычисления по шагам, не меняя смысл события или статистического показателя.
  3. Проверьте вывод на простом частном случае и объясните словами, почему направление изменения разумно.

Разобранный пример

В 100 независимых испытаниях p=0.5. Найдите дисперсию относительной частоты успехов.

Простой уровень

Подсказка: Используйте p(1−p)/n.

  1. p(1−p)=0.25.
  2. Дисперсия 0.25/100=0.0025.

Ответ: 0.0025

Что проверить перед ответом

  • Не начинайте вычисления, пока не определили смысл величин в теме «Теорема Бернулли о частоте».
  • Не применяйте формулу без проверки её условий: Сопоставьте каждое условие теоремы с данными задачи и отдельно отметьте, к какой величине относится вывод.
  • После вычисления выполните смысловую проверку: Проверьте вывод на простом частном случае и объясните словами, почему направление изменения разумно.
Попробуйте самостоятельно

При p=0.5, n=400, ε=0.1 найдите верхнюю границу Чебышёва для ошибки частоты не менее ε.

Сначала решите без подсказки. После этого раскройте пошаговый разбор и сопоставьте переходы со своей записью.

Показать подсказку и решение

Разделите 0.25 на nε².

  1. nε²=400·0.01=4.
  2. Граница 0.25/4=0.0625.

Ответ: 0.0625

Полная статья и три уровня задач

5

Вероятность и статистика · конспект

Центральная предельная теорема

Почему нормальная форма возникает у стандартизованных сумм и какие условия нельзя опускать.

Простыми словами

Теорема связывает условия модели с гарантированным выводом. Она работает только при выполнении всех предпосылок, поэтому их проверка важнее механической подстановки.

Опорные записи

Формулы и условия применения

Zn=X1+⋯+Xn−nμσn →d N(0,1)Z_n=\frac{X_1+\cdots+X_n-n\mu}{\sigma\sqrt n}\ \xrightarrow{d}\ N(0,1)

Xᵢ независимы и одинаково распределены; E[Xᵢ]=μ, 0 < Var(Xᵢ)=σ² < ∞.

Алгоритм

Как перейти от условия к ответу

  1. Сопоставьте каждое условие теоремы с данными задачи и отдельно отметьте, к какой величине относится вывод.
  2. Запишите промежуточные величины и выполните вычисления по шагам, не меняя смысл события или статистического показателя.
  3. Проверьте вывод на простом частном случае и объясните словами, почему направление изменения разумно.

Разобранный пример

Сумма имеет ожидание 20 и стандартное отклонение 4. Найдите стандартизованное значение для суммы 28.

Простой уровень

Подсказка: Вычтите среднее и разделите на стандартное отклонение.

  1. z=(28−20)/4.
  2. z=2.

Ответ: 2

Что проверить перед ответом

  • Не начинайте вычисления, пока не определили смысл величин в теме «Центральная предельная теорема».
  • Не применяйте формулу без проверки её условий: Сопоставьте каждое условие теоремы с данными задачи и отдельно отметьте, к какой величине относится вывод.
  • После вычисления выполните смысловую проверку: Проверьте вывод на простом частном случае и объясните словами, почему направление изменения разумно.
Попробуйте самостоятельно

Независимые одинаково распределённые измерения имеют стандартное отклонение 6. Найдите стандартное отклонение среднего 9 измерений.

Сначала решите без подсказки. После этого раскройте пошаговый разбор и сопоставьте переходы со своей записью.

Показать подсказку и решение

Разброс среднего равен σ/√n.

  1. √9=3.
  2. 6/3=2.

Ответ: 2

Полная статья и три уровня задач

6

Вероятность и статистика · конспект

Нормальное распределение

Среднее и стандартное отклонение, стандартизация, площади под кривой и границы нормальной модели.

Простыми словами

Распределение — полный закон случайной величины: какие значения она принимает и с какими вероятностями. Параметры распределения имеют конкретный смысл и не являются произвольными буквами.

Опорные записи

Формулы и условия применения

f(x)=1σ2πexp⁡(−(x−μ)22σ2)f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)

μ — среднее, σ > 0 — стандартное отклонение.

Z=X−μσ,FX(x)=Φ(x−μσ)Z=\frac{X-\mu}{\sigma},\quad F_X(x)=\Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)

Стандартизация переводит X в N(0,1).

EX=μ,D(X)=σ2\mathbb E X=\mu,\quad D(X)=\sigma^2

В обозначении N(μ,σ²) второй параметр — дисперсия. В полях инструмента вводится σ.

Алгоритм

Как перейти от условия к ответу

  1. Определите тип случайной величины, смысл параметров и область допустимых значений перед вычислением вероятности.
  2. Запишите промежуточные величины и выполните вычисления по шагам, не меняя смысл события или статистического показателя.
  3. Проверьте неотрицательность вероятностей или плотности и нормировку распределения до единицы.

Разобранный пример

X имеет нормальное распределение с μ = 7 и σ = 2. Найдите P(X ≤ 7).

Простой уровень

Подсказка: Используйте симметрию относительно среднего.

  1. Слева и справа от μ площади одинаковы.
  2. Вероятность слева от 7 равна 0,5.

Ответ: 0,5

Что проверить перед ответом

  • Не начинайте вычисления, пока не определили смысл величин в теме «Нормальное распределение».
  • Не применяйте формулу без проверки её условий: Определите тип случайной величины, смысл параметров и область допустимых значений перед вычислением вероятности.
  • После вычисления выполните смысловую проверку: Проверьте неотрицательность вероятностей или плотности и нормировку распределения до единицы.
Попробуйте самостоятельно

У нормальной величины стандартное отклонение σ = 3. Найдите дисперсию.

Сначала решите без подсказки. После этого раскройте пошаговый разбор и сопоставьте переходы со своей записью.

Показать подсказку и решение

Дисперсия — квадрат стандартного отклонения.

  1. D(X) = σ².
  2. 3² = 9.

Ответ: 9

Полная статья и три уровня задач

Учебный маршрут

Все материалы по порядку

Используйте этот список как маршрут повторения: отдельная страница каждого урока содержит дополнительные задания, тренажёры или связи с соседними темами.

Шаг 1 · МаршрутВероятность и статистика · 11 классШаг 2 · УрокМатематическое ожиданиеШаг 3 · УрокДисперсияШаг 4 · УрокВыборочная дисперсияШаг 5 · УрокТеорема БернуллиШаг 6 · УрокЦентральная предельная теоремаШаг 7 · УрокНормальное распределение

Первоисточники

Откуда взяты границы модуля

Уроки написаны Умбликом, а состав и последовательность тем сверены с федеральной рабочей программой. Порядок прохождения в конкретной школе может отличаться.