Натуральные числа
Натуральные числа, дроби, проценты, задачи, данные и наглядная геометрия.
Результат модуля
Что вы научитесь делать
- Объяснять тему «делимость», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
- Объяснять тему «простые и составные числа», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
- Объяснять тему «степень», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
Модуль рассчитан не на беглое чтение, а на несколько занятий. Сначала разберите теорию и примеры, затем решите задания без подсказки и только после этого отметьте модуль изученным.
Подробная теория
Конспекты, формулы и разобранные задачи
Ниже собраны все опорные материалы модуля. Каждый конспект объясняет смысл правила, показывает алгоритм применения и разбирает задачу по шагам. Отдельные уроки остаются доступны для повторения и дополнительной практики.
Алгебра · подробный конспект
Натуральные числа и ноль
Числа и вычисления образуют язык всей математики: важно не только получить ответ, но и оценить его разумность.
Натуральные числа 1, 2, 3, … используют для счёта предметов. Ноль показывает отсутствие предметов и служит началом отсчёта, но в принятой школьной записи не относится к натуральным числам.
Каждое натуральное число имеет следующее число n + 1. На координатном луче больше то число, которое расположено правее; многозначные числа сравнивают сначала по количеству цифр, затем по разрядам слева направо.
Десятичная запись строится по разрядам: значение цифры определяется её позицией, а ноль удерживает пустой разряд. Сравнение многозначных чисел начинают со старшего отличающегося разряда.
Для натуральных чисел важно различать точное деление и деление с остатком. Проверка записи a = bq + r требует не только восстановить делимое, но и убедиться, что 0 ≤ r < b.
Почему это работает. Числовые правила позволяют заменять длинные цепочки вычислений эквивалентными короткими. Законы сложения и умножения сохраняют значение выражения, а степени и корни описывают повторное умножение и обратную ему операцию.
Формула и обозначения
Как читать математическую запись
Число a равно делителю b, умноженному на неполное частное q, плюс остаток r. Остаток неотрицателен и всегда меньше делителя.
Деление натурального числа a на b: q — неполное частное, r — остаток.- aⁿ
- произведение n одинаковых множителей a
- √a
- неотрицательное число, квадрат которого равен a
- |a|
- расстояние от a до нуля
- −a
- число, противоположное a
Алгоритм
Как решать задачи этого типа
- прочитать число по классам и определить разряды
- выбрать действие по смыслу условия
- выполнить вычисление и проверить обратным действием
Разбор по шагам
Два примера
Запишите число: 4 сотни тысяч, 7 тысяч, 3 десятка и 2 единицы.
- Раскладываем по разрядам: 400 000 + 7 000 + 30 + 2.
- В отсутствующих разрядах записываем нули.
- Получаем 407 032.
Ответ: 407 032
Разделите 157 на 12 с остатком.
- Наибольшее произведение 12, не превосходящее 157: 12 · 13 = 156.
- Остаток 157 − 156 = 1.
- Проверка: 12 · 13 + 1 = 157 и 1 < 12.
Ответ: 13, остаток 1
Типичные ошибки
- нарушать порядок действий
- складывать основания степеней
- терять знак отрицательного числа
Алгебра · подробный конспект
Арифметические действия и порядок вычислений
Числа и вычисления образуют язык всей математики: важно не только получить ответ, но и оценить его разумность.
Числовые множества последовательно расширяются: натуральные входят в целые, целые — в рациональные, а рациональные — в действительные.
Порядок действий: скобки, степени и корни, умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Сложение и умножение допускают перестановку и удобную группировку, а вычитание и деление — нет. Скобки и установленный приоритет действий делают значение выражения однозначным.
Перед точным счётом полезно оценить порядок ответа, а после — применить обратное действие. Такая двойная проверка обнаруживает ошибку знака, разряда или неверный порядок действий.
Почему это работает. Числовые правила позволяют заменять длинные цепочки вычислений эквивалентными короткими. Законы сложения и умножения сохраняют значение выражения, а степени и корни описывают повторное умножение и обратную ему операцию.
Формула и обозначения
Как читать математическую запись
При умножении степеней с одинаковым основанием основание сохраняют, а показатели степеней складывают.
Свойство степеней с одинаковым основанием.- aⁿ
- произведение n одинаковых множителей a
- √a
- неотрицательное число, квадрат которого равен a
- |a|
- расстояние от a до нуля
- −a
- число, противоположное a
Алгоритм
Как решать задачи этого типа
- определить допустимые действия
- соблюсти порядок вычислений
- оценить знак и примерный размер ответа
Разбор по шагам
Два примера
Вычислите 2³ · 2⁴.
- Основания одинаковы, поэтому показатели складываются.
- 2³ · 2⁴ = 2⁷.
Ответ: 128
Упростите 2³ · 2⁵ / 2⁴.
- При умножении показатели складываются: 2³ · 2⁵ = 2⁸.
- При делении показатели вычитаются: 2⁸ / 2⁴ = 2⁴.
- 2⁴ = 16.
Ответ: 16
Типичные ошибки
- нарушать порядок действий
- складывать основания степеней
- терять знак отрицательного числа
Алгебра · подробный конспект
Делители, кратные и признаки делимости
Делимость помогает исследовать целые числа без выполнения полного деления и строить точные алгоритмы.
Число a делится на b, если существует целое k такое, что a = bk. НОД делит оба числа, а НОК кратно каждому из них.
Разложение на простые множители позволяет находить НОД по общим множителям, а НОК — по всем множителям с наибольшими степенями.
Делитель разбивает число на целое количество равных групп, а кратное содержит заданное число целое количество раз. Признаки делимости позволяют установить это по записи числа без полного деления.
Разложение на простые множители показывает внутреннюю структуру числа. Из него НОД собирают по общим множителям с меньшими степенями, а НОК — по всем встречающимся множителям с большими степенями.
Почему это работает. Деление с остатком единственным образом представляет число как несколько полных групп и остаток. Алгоритм Евклида работает потому, что общие делители чисел a и b совпадают с общими делителями b и остатка a mod b.
Формула и обозначения
Как читать математическую запись
При делении a на b число a равно b, умноженному на неполное частное q, плюс остаток r; остаток неотрицателен и меньше b.
Теорема о делении с остатком.- a = bq + r
- деление a на b с неполным частным q
- 0 ≤ r < b
- условие на остаток
- НОД(a, b)
- наибольший общий делитель
- НОК(a, b)
- наименьшее общее кратное
Алгоритм
Как решать задачи этого типа
- разложить числа на простые множители
- выбрать нужные степени множителей
- проверить делением
Разбор по шагам
Два примера
Найдите НОД чисел 18 и 24.
- 18 = 2 · 3², 24 = 2³ · 3.
- Берём общие множители с меньшими степенями: 2 · 3.
Ответ: 6
Найдите НОД(84, 30) алгоритмом Евклида.
- 84 = 30 · 2 + 24.
- 30 = 24 · 1 + 6.
- 24 = 6 · 4, последний ненулевой остаток равен 6.
Ответ: 6
Типичные ошибки
- путать НОД и НОК
- считать единицу простым числом
- допускать остаток, не меньший делителя
Закрепление материала
Мини-тест
Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.
Учебный маршрут
Все материалы по порядку
Используйте этот список как маршрут повторения: отдельная страница каждого урока содержит дополнительные задания, тренажёры или связи с соседними темами.
Первоисточники
Откуда взяты границы модуля
Уроки написаны Умбликом, а состав и последовательность тем сверены с федеральной рабочей программой. Порядок прохождения в конкретной школе может отличаться.