УмбликМатематика
К маршруту 5 класса
Математика5 классБазовый курс 4 подробных конспектовНагрузка предмета в 5 классе: 170 ч, 5 ч/нед.9 заданий и разборов

Дроби и проценты

Натуральные числа, дроби, проценты, задачи, данные и наглядная геометрия.

Модуль школьной программы

Результат модуля

Что вы научитесь делать

  • Объяснять тему «обыкновенные дроби», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
  • Объяснять тему «десятичные дроби», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
  • Объяснять тему «проценты», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ

Модуль рассчитан не на беглое чтение, а на несколько занятий. Сначала разберите теорию и примеры, затем решите задания без подсказки и только после этого отметьте модуль изученным.

Подробная теория

Конспекты, формулы и разобранные задачи

Ниже собраны все опорные материалы модуля. Каждый конспект объясняет смысл правила, показывает алгоритм применения и разбирает задачу по шагам. Отдельные уроки остаются доступны для повторения и дополнительной практики.

1

Алгебра · подробный конспект

Обыкновенные и десятичные дроби

Дроби, отношения и проценты описывают часть целого и позволяют сравнивать величины в едином масштабе.

Дробь a/b при b ≠ 0 означает результат деления a на b; процент — одна сотая часть величины.

Опорная идея

Для сложения дробей их приводят к общему знаменателю, а для нахождения p процентов от числа умножают число на p/100.

Обыкновенная дробь задаёт число долей единицы, а десятичная дробь использует доли со знаменателями 10, 100, 1000 и так далее. Для перевода нужно привести знаменатель к степени десяти либо выполнить деление.

При сложении обыкновенных дробей части сначала делают одинаковыми с помощью общего знаменателя. В десятичной записи разряды выравнивают по запятой, чтобы складывать одноимённые доли.

Почему это работает. Дробь обозначает и результат деления, и часть единицы. Общий знаменатель разбивает сравниваемые доли на одинаковые части; только после этого их числители можно складывать или сравнивать.

Формула и обозначения

Как читать математическую запись

p% от a=p100 ap\%\text{ от }a=\frac{p}{100}\,a
Формула словами

Чтобы найти p процентов от числа a, нужно p разделить на сто и умножить полученную долю на a.

Нахождение процента от величины.
a/b
a — числитель, b — знаменатель, b ≠ 0
p%
p сотых долей, то есть p/100
a : b
отношение величины a к величине b
НОЗ
наименьший общий знаменатель

Алгоритм

Как решать задачи этого типа

  1. определить целое и искомую часть
  2. перевести проценты или отношения в дробь
  3. выполнить действие и проверить смысл результата

Разбор по шагам

Два примера

Пример 1.1

Найдите 15% от 200.

  1. 15% = 15/100 = 0,15.
  2. Умножаем 200 · 0,15.

Ответ: 30

Пример 1.2

Найдите 15% от 240.

  1. 15% = 15/100 = 0,15.
  2. Умножаем целое на долю: 240 · 0,15.
  3. Получаем 36.

Ответ: 36

Типичные ошибки

  • делить на процент вместо умножения
  • складывать дроби без общего знаменателя
  • не указывать, какая величина принята за 100%

Открыть отдельный урок

2

Вероятность и статистика · конспект

Доли и дроби

Как записать часть целого, сократить дробь и сравнить доли — основа вероятностных расчётов.

Простыми словами

Здесь разбирается математический инструмент, который понадобится дальше. Сначала поймите смысл действия на простом числе или рисунке, а затем переходите к буквенной записи.

Опорные записи

Формулы и условия применения

ab=a÷b,b≠0\frac{a}{b}=a\div b,\qquad b\ne0

Числитель a делим на ненулевой знаменатель b.

ab=a⋅kb⋅k,k≠0\frac{a}{b}=\frac{a\cdot k}{b\cdot k},\qquad k\ne0

При умножении числителя и знаменателя на одно число доля не меняется.

Алгоритм

Как перейти от условия к ответу

  1. Определите, что обозначает каждая буква, приведите величины к одному виду и выполняйте действия по порядку.
  2. Запишите промежуточные величины и выполните вычисления по шагам, не меняя смысл события или статистического показателя.
  3. Выполните обратное действие и убедитесь, что получили исходные данные.

Разобранный пример

Из 12 равных долек съели 3. Какую долю съели? Ответьте дробью или десятичным числом.

Простой уровень

Подсказка: В числителе — число съеденных долек, в знаменателе — число всех долек.

  1. Доли равные, поэтому съеденная часть равна 3/12.
  2. Делим числитель и знаменатель на 3: 3/12 = 1/4.
  3. В десятичной записи 1/4 = 0,25.

Ответ: 1/4

Что проверить перед ответом

  • Не начинайте вычисления, пока не определили смысл величин в теме «Дроби и доли».
  • Не применяйте формулу без проверки её условий: Определите, что обозначает каждая буква, приведите величины к одному виду и выполняйте действия по порядку.
  • После вычисления выполните смысловую проверку: Выполните обратное действие и убедитесь, что получили исходные данные.
Попробуйте самостоятельно

Красные карточки составляют 3/5 набора из 40 карточек. Сколько красных карточек?

Сначала решите без подсказки. После этого раскройте пошаговый разбор и сопоставьте переходы со своей записью.

Показать подсказку и решение

Сначала найдите одну пятую набора, затем возьмите три такие части.

  1. Одна пятая от 40 равна 40 / 5 = 8.
  2. Три пятых — это 8 × 3 = 24.
  3. Проверяем: 24/40 сокращается до 3/5.

Ответ: 24

Полная статья и три уровня задач

3

Вероятность и статистика · конспект

Десятичные дроби

Разряды, сравнение и перевод между десятичной и обыкновенной записью.

Простыми словами

Здесь разбирается математический инструмент, который понадобится дальше. Сначала поймите смысл действия на простом числе или рисунке, а затем переходите к буквенной записи.

Опорные записи

Формулы и условия применения

0,a1a2…ak=∑i=1kai10i0{,}a_1a_2\ldots a_k=\sum_{i=1}^{k}\frac{a_i}{10^i}

Цифра после запятой занимает разряд десятых, сотых и так далее.

Алгоритм

Как перейти от условия к ответу

  1. Определите, что обозначает каждая буква, приведите величины к одному виду и выполняйте действия по порядку.
  2. Запишите промежуточные величины и выполните вычисления по шагам, не меняя смысл события или статистического показателя.
  3. Выполните обратное действие и убедитесь, что получили исходные данные.

Разобранный пример

Запишите 0,125 обыкновенной дробью.

Простой уровень

Подсказка: У знаменателя столько нулей, сколько знаков после запятой.

  1. 0,125=125/1000.
  2. Сокращаем на 125: 1/8.

Ответ: 1/8

Что проверить перед ответом

  • Не начинайте вычисления, пока не определили смысл величин в теме «Десятичные дроби».
  • Не применяйте формулу без проверки её условий: Определите, что обозначает каждая буква, приведите величины к одному виду и выполняйте действия по порядку.
  • После вычисления выполните смысловую проверку: Выполните обратное действие и убедитесь, что получили исходные данные.
Попробуйте самостоятельно

Вычислите 0,7+0,045.

Сначала решите без подсказки. После этого раскройте пошаговый разбор и сопоставьте переходы со своей записью.

Показать подсказку и решение

Выровняйте десятичные разряды.

  1. Запишем 0,700+0,045.
  2. Получаем 0,745.

Ответ: 0,745

Полная статья и три уровня задач

4

Вероятность и статистика · конспект

Проценты как сотые доли

Переводим проценты в доли, находим часть числа и различаем проценты и процентные пункты.

Простыми словами

Здесь разбирается математический инструмент, который понадобится дальше. Сначала поймите смысл действия на простом числе или рисунке, а затем переходите к буквенной записи.

Опорные записи

Формулы и условия применения

r%=r100r\%=\frac{r}{100}

Процент — одна сотая; 25 процентов равны 0,25.

a от b  ⟶  ab⋅100%,b>0a\text{ от }b\;\longrightarrow\;\frac{a}{b}\cdot100\%,\qquad b>0

Делим часть на целое и переводим долю в проценты.

Алгоритм

Как перейти от условия к ответу

  1. Определите, что обозначает каждая буква, приведите величины к одному виду и выполняйте действия по порядку.
  2. Запишите промежуточные величины и выполните вычисления по шагам, не меняя смысл события или статистического показателя.
  3. Выполните обратное действие и убедитесь, что получили исходные данные.

Разобранный пример

Запишите 18% десятичным числом (без знака процента).

Простой уровень

Подсказка: Процент — одна сотая. Разделите 18 на 100.

  1. 18% означает 18 частей из 100.
  2. 18/100 = 0,18.

Ответ: 0,18

Что проверить перед ответом

  • Не начинайте вычисления, пока не определили смысл величин в теме «Проценты без путаницы».
  • Не применяйте формулу без проверки её условий: Определите, что обозначает каждая буква, приведите величины к одному виду и выполняйте действия по порядку.
  • После вычисления выполните смысловую проверку: Выполните обратное действие и убедитесь, что получили исходные данные.
Попробуйте самостоятельно

В 80 испытаниях получилось 28 успехов. Сколько процентов испытаний были успешными? Укажите ответ со знаком %.

Сначала решите без подсказки. После этого раскройте пошаговый разбор и сопоставьте переходы со своей записью.

Показать подсказку и решение

Найдите долю 28/80 и переведите её в проценты.

  1. Доля успехов: 28/80 = 0,35.
  2. Умножаем долю на 100%: 0,35 × 100% = 35%.

Ответ: 35%

Полная статья и три уровня задач

Закрепление материала

Мини-тест

Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.

  1. Задание 1
    Чему равен один процент?
  2. Задание 2
    С какого действия разумно начать работу по теме «Обыкновенные и десятичные дроби»?
  3. Задание 3
    Найдите 15% от 200.

Учебный маршрут

Все материалы по порядку

Используйте этот список как маршрут повторения: отдельная страница каждого урока содержит дополнительные задания, тренажёры или связи с соседними темами.

Шаг 1 · УрокОбыкновенные и десятичные дробиШаг 2 · МаршрутВероятность и статистика · 5 классШаг 3 · УрокДоли и дробиШаг 4 · УрокДесятичные дробиШаг 5 · УрокПроценты как сотые доли

Первоисточники

Откуда взяты границы модуля

Уроки написаны Умбликом, а состав и последовательность тем сверены с федеральной рабочей программой. Порядок прохождения в конкретной школе может отличаться.