УмбликМатематика
К маршруту 5 класса
Математика5 классБазовый курс 4 подробных конспектовНагрузка предмета в 5 классе: 170 ч, 5 ч/нед.9 заданий и разборов

Задачи и данные

Натуральные числа, дроби, проценты, задачи, данные и наглядная геометрия.

Модуль школьной программы

Результат модуля

Что вы научитесь делать

  • Объяснять тему «текстовые и логические задачи», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
  • Объяснять тему «перебор», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
  • Объяснять тему «таблицы и диаграммы», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ

Модуль рассчитан не на беглое чтение, а на несколько занятий. Сначала разберите теорию и примеры, затем решите задания без подсказки и только после этого отметьте модуль изученным.

Подробная теория

Конспекты, формулы и разобранные задачи

Ниже собраны все опорные материалы модуля. Каждый конспект объясняет смысл правила, показывает алгоритм применения и разбирает задачу по шагам. Отдельные уроки остаются доступны для повторения и дополнительной практики.

1

Алгебра · подробный конспект

Текстовые задачи и представление данных

Числа и вычисления образуют язык всей математики: важно не только получить ответ, но и оценить его разумность.

Числовые множества последовательно расширяются: натуральные входят в целые, целые — в рациональные, а рациональные — в действительные.

Опорная идея

Порядок действий: скобки, степени и корни, умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Решение начинается с модели: нужно назвать величины, их единицы, известные значения и связь с искомым. Выражение, таблица или схема должны сохранять смысл условия, а не только выписанные числа.

Таблица удобна для точных значений, диаграмма — для сравнения. Любой вывод следует подтверждать вычислением по шкале или данным, отдельно проверяя, не пропущена ли категория и верно ли прочитана цена деления.

Почему это работает. Числовые правила позволяют заменять длинные цепочки вычислений эквивалентными короткими. Законы сложения и умножения сохраняют значение выражения, а степени и корни описывают повторное умножение и обратную ему операцию.

Формула и обозначения

Как читать математическую запись

am⋅an=am+na^m\cdot a^n=a^{m+n}
Формула словами

При умножении степеней с одинаковым основанием основание сохраняют, а показатели степеней складывают.

Свойство степеней с одинаковым основанием.
aⁿ
произведение n одинаковых множителей a
√a
неотрицательное число, квадрат которого равен a
|a|
расстояние от a до нуля
−a
число, противоположное a

Алгоритм

Как решать задачи этого типа

  1. определить допустимые действия
  2. соблюсти порядок вычислений
  3. оценить знак и примерный размер ответа

Разбор по шагам

Два примера

Пример 1.1

Вычислите 2³ · 2⁴.

  1. Основания одинаковы, поэтому показатели складываются.
  2. 2³ · 2⁴ = 2⁷.

Ответ: 128

Пример 1.2

Упростите 2³ · 2⁵ / 2⁴.

  1. При умножении показатели складываются: 2³ · 2⁵ = 2⁸.
  2. При делении показатели вычитаются: 2⁸ / 2⁴ = 2⁴.
  3. 2⁴ = 16.

Ответ: 16

Типичные ошибки

  • нарушать порядок действий
  • складывать основания степеней
  • терять знак отрицательного числа

Открыть отдельный урок

2

Вероятность и статистика · конспект

Систематический перебор

Перечисляем варианты без пропусков и повторов, проверяя роль порядка и возвращения.

Простыми словами

Здесь разбирается математический инструмент, который понадобится дальше. Сначала поймите смысл действия на простом числе или рисунке, а затем переходите к буквенной записи.

Опорные записи

Формулы и условия применения

N=a⋅bN=a\cdot b

Если после каждого из a первых вариантов доступны ровно b вторых, последовательностей a·b.

N=n(n−1)N=n(n-1)

Число упорядоченных пар разных элементов из набора из n элементов, n ≥ 2.

Алгоритм

Как перейти от условия к ответу

  1. Определите, что обозначает каждая буква, приведите величины к одному виду и выполняйте действия по порядку.
  2. Запишите промежуточные величины и выполните вычисления по шагам, не меняя смысл события или статистического показателя.
  3. Выполните обратное действие и убедитесь, что получили исходные данные.

Разобранный пример

Для комплекта выбирают одну из трёх футболок и одну из двух пар шорт. Все сочетания допустимы. Сколько различных комплектов получится?

Простой уровень

Подсказка: Зафиксируйте одну футболку и посчитайте её продолжения.

  1. Для каждой футболки доступны две пары шорт.
  2. Всего 2 + 2 + 2 = 3 × 2 = 6 комплектов.

Ответ: 6

Что проверить перед ответом

  • Не начинайте вычисления, пока не определили смысл величин в теме «Систематический перебор».
  • Не применяйте формулу без проверки её условий: Определите, что обозначает каждая буква, приведите величины к одному виду и выполняйте действия по порядку.
  • После вычисления выполните смысловую проверку: Выполните обратное действие и убедитесь, что получили исходные данные.
Попробуйте самостоятельно

Из цифр 0, 2 и 5 составляют двузначные числа без повторения цифр. Сколько чисел получится?

Сначала решите без подсказки. После этого раскройте пошаговый разбор и сопоставьте переходы со своей записью.

Показать подсказку и решение

Ноль не может стоять первым в двузначном числе.

  1. При первой цифре 2 получаем числа 20 и 25.
  2. При первой цифре 5 получаем числа 50 и 52.
  3. Других первых цифр нет. Всего 4 числа.

Ответ: 4

Полная статья и три уровня задач

3

Вероятность и статистика · конспект

Таблицы

Читаем строки и столбцы, проверяем итог и превращаем записи в понятное сравнение.

Простыми словами

Здесь разбирается математический инструмент, который понадобится дальше. Сначала поймите смысл действия на простом числе или рисунке, а затем переходите к буквенной записи.

Опорные записи

Формулы и условия применения

n=n1+n2+⋯+nkn=n_1+n_2+\cdots+n_k

Число наблюдений равно сумме частот непересекающихся категорий, охватывающих все наблюдения.

fi=nin,n>0f_i=\frac{n_i}{n},\qquad n>0

Доля категории — её частота, делённая на общий объём данных.

Алгоритм

Как перейти от условия к ответу

  1. Определите, что обозначает каждая буква, приведите величины к одному виду и выполняйте действия по порядку.
  2. Запишите промежуточные величины и выполните вычисления по шагам, не меняя смысл события или статистического показателя.
  3. Выполните обратное действие и убедитесь, что получили исходные данные.

Разобранный пример

В таблице выдачи книг указано: понедельник — 7 книг, вторник — 9, среда — 4. Сколько книг выдали за эти три дня?

Простой уровень

Подсказка: Каждая строка относится к отдельному дню, поэтому количества можно сложить.

  1. В таблице три непересекающихся по времени группы записей.
  2. Сумма выдач: 7 + 9 + 4 = 20 книг.

Ответ: 20

Что проверить перед ответом

  • Не начинайте вычисления, пока не определили смысл величин в теме «Таблицы данных».
  • Не применяйте формулу без проверки её условий: Определите, что обозначает каждая буква, приведите величины к одному виду и выполняйте действия по порядку.
  • После вычисления выполните смысловую проверку: Выполните обратное действие и убедитесь, что получили исходные данные.
Попробуйте самостоятельно

15 учеников указали ровно один способ добраться до школы: пешком — 6, автобусом — 5, на автомобиле — 4. Какую долю составляют приехавшие автобусом?

Сначала решите без подсказки. После этого раскройте пошаговый разбор и сопоставьте переходы со своей записью.

Показать подсказку и решение

Выберите нужную строку и разделите её частоту на общий итог, а не на число строк.

  1. Общий итог: 6 + 5 + 4 = 15 учеников.
  2. Автобусом приехали 5 человек.
  3. Их доля: 5/15 = 1/3.

Ответ: 1/3

Полная статья и три уровня задач

4

Вероятность и статистика · конспект

Столбчатые диаграммы

Переводим таблицы в графическое сравнение и проверяем подписи, масштабы и доли.

Простыми словами

Здесь разбирается математический инструмент, который понадобится дальше. Сначала поймите смысл действия на простом числе или рисунке, а затем переходите к буквенной записи.

Опорные записи

Формулы и условия применения

αi=360∘nin\alpha_i=360^\circ\frac{n_i}{n}

Угол сектора пропорционален доле категории; категории должны составлять целое.

Алгоритм

Как перейти от условия к ответу

  1. Определите, что обозначает каждая буква, приведите величины к одному виду и выполняйте действия по порядку.
  2. Запишите промежуточные величины и выполните вычисления по шагам, не меняя смысл события или статистического показателя.
  3. Выполните обратное действие и убедитесь, что получили исходные данные.

Разобранный пример

Какой угол в градусах соответствует 25% круга?

Простой уровень

Подсказка: Умножьте 360 на долю 0,25.

  1. Четверть полного оборота: 360×0,25.
  2. Получаем 90 градусов.

Ответ: 90

Что проверить перед ответом

  • Не начинайте вычисления, пока не определили смысл величин в теме «Столбчатые и круговые диаграммы».
  • Не применяйте формулу без проверки её условий: Определите, что обозначает каждая буква, приведите величины к одному виду и выполняйте действия по порядку.
  • После вычисления выполните смысловую проверку: Выполните обратное действие и убедитесь, что получили исходные данные.
Попробуйте самостоятельно

На диаграмме значения 16 и 24. Во сколько раз второе больше первого?

Сначала решите без подсказки. После этого раскройте пошаговый разбор и сопоставьте переходы со своей записью.

Показать подсказку и решение

Нужно отношение, а не разность.

  1. Делим 24 на 16.
  2. 24/16=1,5.

Ответ: 1,5

Полная статья и три уровня задач

Закрепление материала

Мини-тест

Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.

  1. Задание 1
    Какое действие выполняют раньше умножения?
  2. Задание 2
    С какого действия разумно начать работу по теме «Текстовые задачи и представление данных»?
  3. Задание 3
    Вычислите 2³ · 2⁴.

Учебный маршрут

Все материалы по порядку

Используйте этот список как маршрут повторения: отдельная страница каждого урока содержит дополнительные задания, тренажёры или связи с соседними темами.

Шаг 1 · УрокТекстовые задачи и представление данныхШаг 2 · МаршрутВероятность и статистика · 5 классШаг 3 · УрокСистематический переборШаг 4 · УрокТаблицыШаг 5 · УрокСтолбчатые диаграммы

Первоисточники

Откуда взяты границы модуля

Уроки написаны Умбликом, а состав и последовательность тем сверены с федеральной рабочей программой. Порядок прохождения в конкретной школе может отличаться.