УмбликМатематика
К маршруту 5 класса
Математика5 классБазовый курс 5 подробных конспектовНагрузка предмета в 5 классе: 170 ч, 5 ч/нед.12 заданий и разборов

Наглядная геометрия

Натуральные числа, дроби, проценты, задачи, данные и наглядная геометрия.

Модуль школьной программы

Результат модуля

Что вы научитесь делать

  • Объяснять тему «углы и многоугольники», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
  • Объяснять тему «площадь», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
  • Объяснять тему «тела, развёртки и объём», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ

Модуль рассчитан не на беглое чтение, а на несколько занятий. Сначала разберите теорию и примеры, затем решите задания без подсказки и только после этого отметьте модуль изученным.

Подробная теория

Конспекты, формулы и разобранные задачи

Ниже собраны все опорные материалы модуля. Каждый конспект объясняет смысл правила, показывает алгоритм применения и разбирает задачу по шагам. Отдельные уроки остаются доступны для повторения и дополнительной практики.

1

Геометрия · подробный конспект

Точка, прямая, отрезок, луч и угол

Базовые фигуры и точные определения формируют язык, на котором записываются геометрические условия и доказательства.

Точка обозначает положение, прямая не имеет концов, отрезок ограничен двумя точками, а луч имеет начало и продолжается в одном направлении.

Опорная идея

Свойство фигуры следует из определения или теоремы, но не из того, как она выглядит на конкретном рисунке.

Точка обозначает положение, прямая продолжается в обе стороны, луч имеет начало, а отрезок — два конца. Угол образуют два луча с общим началом; его величину измеряют в градусах.

При чтении чертежа сначала называют вершины и принадлежность точек, затем различают прямую AB, луч AB и отрезок AB: одинаковые буквы не делают эти объекты взаимозаменяемыми.

Почему это работает. Определения задают точные признаки фигур. Чертёж помогает увидеть отношения, но не доказывает их: точка не имеет размера, прямая не имеет концов, а отрезок ограничен двумя точками.

Формула и обозначения

Как читать математическую запись

AB=∣xB−xA∣AB=|x_B-x_A|
Формула словами

Длина отрезка на координатной прямой равна модулю разности координат его концов.

Длина отрезка на координатной прямой.
A, B
обозначения точек
AB
отрезок или его длина по контексту
∠ABC
угол с вершиной B
O, R
центр и радиус окружности

Алгоритм

Как решать задачи этого типа

  1. прочитать определение
  2. назвать элементы фигуры
  3. отделить данные условия от предположений по рисунку

Разбор по шагам

Два примера

Пример 1.1

Найдите длину отрезка между точками −2 и 5 на координатной прямой.

  1. Длина равна модулю разности координат.
  2. |5 − (−2)| = 7.

Ответ: 7

Пример 1.2

Луч делит развёрнутый угол на углы 65° и x. Найдите x.

  1. Развёрнутый угол равен 180°.
  2. Составляем 65° + x = 180°.
  3. x = 180° − 65°.

Ответ: 115°

Типичные ошибки

  • считать прямую конечной
  • путать луч и отрезок
  • делать выводы только по масштабу рисунка

Открыть отдельный урок

2

Геометрия · подробный конспект

Многоугольники, окружность и круг

Окружность объединяет точки, равноудалённые от центра, а её углы, хорды и касательные связаны строгими теоремами.

Многоугольник — часть плоскости, ограниченная простой замкнутой ломаной. Окружность — множество точек плоскости на одинаковом расстоянии от центра, а круг состоит из окружности и всех точек внутри неё.

Опорная идея

Периметр многоугольника равен сумме длин всех его сторон; радиус соединяет центр с точкой окружности, а диаметр проходит через центр и равен двум радиусам.

Многоугольник ограничен замкнутой ломаной, окружность является только границей, а круг включает границу и внутреннюю область. Число сторон многоугольника равно числу его вершин.

В задаче отмечают стороны, вершины и диагонали многоугольника, а у окружности — центр, радиус и диаметр. Это предотвращает подмену длины границы площадью области.

Почему это работает. Все точки окружности находятся на одном расстоянии от центра. Из равенства радиусов возникают равнобедренные треугольники, а из них — связи между центральными, вписанными углами, хордами и касательными.

Формула и обозначения

Как читать математическую запись

P=a1+a2+⋯+an,d=2RP=a_1+a_2+\dots+a_n,\qquad d=2R
Формула словами

Периметр равен сумме длин всех сторон многоугольника. Диаметр окружности проходит через её центр и имеет длину, равную двум радиусам.

Периметр n-угольника и связь диаметра окружности с радиусом.
R
радиус окружности
d = 2R
диаметр
L = 2πR
длина окружности
S = πR²
площадь круга

Алгоритм

Как решать задачи этого типа

  1. определить, рассматривается граница фигуры или вся внутренняя область
  2. назвать вершины, стороны либо центр, радиусы и диаметр
  3. выбрать сумму длин или связь диаметра с радиусом и проверить единицы

Разбор по шагам

Два примера

Пример 2.1

Найдите периметр четырёхугольника со сторонами 3 см, 4 см, 5 см и 6 см.

  1. Периметр — сумма длин всех четырёх сторон.
  2. P = 3 + 4 + 5 + 6 = 18 см.

Ответ: 18 см

Пример 2.2

Радиус окружности равен 7 см. Найдите её диаметр.

  1. Диаметр состоит из двух радиусов.
  2. d = 2 · 7 = 14 см.

Ответ: 14 см

Типичные ошибки

  • путать радиус и диаметр
  • использовать формулу площади вместо длины
  • не видеть прямой угол в точке касания

Открыть отдельный урок

3

Геометрия · подробный конспект

Измерение и построение углов

Построение и доказательство учат получать результат из явно сформулированных свойств, а не доверять внешнему виду рисунка.

Угол образован двумя лучами с общей вершиной, а его градусная мера показывает величину поворота от одной стороны к другой. Углы измеряют транспортиром в градусах.

Опорная идея

Острый угол меньше 90°, прямой равен 90°, тупой больше 90°, но меньше 180°, а развёрнутый равен 180°; выбранная шкала транспортира должна начинаться с нуля на исходном луче.

Величину угла отсчитывают от одного луча до другого по нужной шкале транспортира. Острый угол меньше 90°, прямой равен 90°, тупой лежит между 90° и 180°, развёрнутый равен 180°.

При построении центр транспортира совмещают с вершиной, нулевую отметку — со стороной угла, ставят точку нужного градуса и проводят второй луч; результат проверяют повторным измерением.

Почему это работает. Построение циркулем и линейкой опирается на геометрические места точек. Пересечение двух таких множеств одновременно выполняет два условия задачи; доказательство подтверждает, что построены все и только нужные точки.

Формула и обозначения

Как читать математическую запись

0∘<α<90∘,α=90∘,90∘<α<180∘0^\circ<\alpha<90^\circ,\quad \alpha=90^\circ,\quad 90^\circ<\alpha<180^\circ
Формула словами

Острый угол меньше девяноста градусов, прямой равен девяноста градусам, а тупой больше девяноста, но меньше ста восьмидесяти градусов.

Диапазоны величин острого, прямого и тупого углов.
ГМТ
геометрическое место точек
MA = MB
M равноудалена от A и B
∠
угол
⊥
перпендикулярность

Алгоритм

Как решать задачи этого типа

  1. совместить центр транспортира с вершиной, а нулевую отметку — с исходным лучом
  2. прочитать или отметить нужное значение на шкале, начинающейся с нуля
  3. провести второй луч и повторным измерением проверить построение

Разбор по шагам

Два примера

Пример 3.1

К какому виду относится угол 125°?

  1. 125° больше 90°.
  2. 125° меньше 180°, поэтому угол тупой.

Ответ: Тупой

Пример 3.2

Луч делит развёрнутый угол на углы 47° и β. Найдите β.

  1. Развёрнутый угол равен 180°.
  2. β = 180° − 47° = 133°.

Ответ: 133°

Типичные ошибки

  • считать аккуратный рисунок доказательством
  • пропускать исследование существования
  • использовать свойства, которые ещё не доказаны

Открыть отдельный урок

4

Геометрия · подробный конспект

Периметр и площадь прямоугольника

Геометрические величины позволяют количественно описывать границу, поверхность и пространство, занимаемое фигурой.

Периметр измеряет длину границы, площадь — размер плоской области, объём — вместимость пространственного тела.

Опорная идея

Перед вычислением все длины приводят к одинаковым единицам; ответ площади записывают в квадратных, объёма — в кубических единицах.

Периметр P = 2(a + b) измеряет длину границы прямоугольника, а площадь S = ab — размер его внутренней области. Эти величины имеют разные единицы и отвечают на разные вопросы.

Перед подстановкой стороны приводят к одной единице. Для неизвестной стороны используют обратную формулу: a = S/b по площади или a = P/2 − b по периметру.

Почему это работает. Периметр складывает длины границы, а площадь измеряет число единичных квадратов внутри фигуры. Поэтому эти величины имеют разные единицы: линейные для периметра и квадратные для площади.

Формула и обозначения

Как читать математическую запись

P=2(a+b),S=abP=2(a+b),\qquad S=ab
Формула словами

Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме его сторон, а площадь — произведению этих сторон.

Периметр и площадь прямоугольника.
P
периметр фигуры
S
площадь фигуры
a, b
длины сторон прямоугольника
см²
квадратная единица площади

Алгоритм

Как решать задачи этого типа

  1. определить искомую величину
  2. привести единицы
  3. выбрать формулу и проверить размерность

Разбор по шагам

Два примера

Пример 4.1

Найдите площадь прямоугольника со сторонами 4 см и 7 см.

  1. Площадь равна произведению сторон.
  2. 4 · 7 = 28.

Ответ: 28 см²

Пример 4.2

Периметр прямоугольника 30 см, одна сторона 6 см. Найдите другую сторону и площадь.

  1. Полупериметр a + b = 15.
  2. b = 15 − 6 = 9 см.
  3. S = 6 · 9 = 54 см².

Ответ: 9 см; 54 см²

Типичные ошибки

  • путать периметр и площадь
  • смешивать сантиметры и метры
  • забывать квадратные или кубические единицы

Открыть отдельный урок

5

Геометрия · подробный конспект

Куб, параллелепипед, развёртки и объём

Многогранники состоят из плоских многоугольников и позволяют перейти от планиметрии к пространственным задачам.

Прямоугольный параллелепипед ограничен шестью прямоугольниками, а куб — шестью равными квадратами. Развёртка — расположение всех граней тела на плоскости без разрывов по сохраняемым рёбрам.

Опорная идея

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений, а площадь поверхности — сумме площадей шести граней; для куба все три измерения равны ребру a.

Прямоугольный параллелепипед имеет шесть прямоугольных граней, а куб — шесть равных квадратов. Развёртка показывает эти грани на плоскости и должна складываться без наложений.

Объём считают числом единичных кубов: V = abc, для куба V = a³. Площадь поверхности получают сложением площадей всех шести граней, а не умножением трёх измерений.

Почему это работает. Объём прямой призмы равен числу единичных слоёв основания, уложенных по высоте. Пирамида с теми же основанием и высотой занимает треть объёма призмы — это подтверждается разбиением соответствующих тел.

Формула и обозначения

Как читать математическую запись

V=abc,S=2(ab+bc+ac),Vкуба=a3V=abc,\qquad S=2(ab+bc+ac),\qquad V_{\text{куба}}=a^3
Формула словами

Объём параллелепипеда равен произведению длины, ширины и высоты. Площадь поверхности равна удвоенной сумме площадей трёх попарно разных граней.

Объём и площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, объём куба.
Sосн
площадь основания
h
перпендикулярная высота
V = Sосн·h
объём призмы
V = ⅓Sосн·h
объём пирамиды

Алгоритм

Как решать задачи этого типа

  1. определить три измерения тела и привести их к одной единице
  2. для объёма перемножить измерения, для поверхности сложить площади шести граней
  3. проверить кубические или квадратные единицы и согласованность развёртки

Разбор по шагам

Два примера

Пример 5.1

Найдите объём коробки размером 3 см × 4 см × 5 см.

  1. Используем V = abc.
  2. V = 3 · 4 · 5 = 60 см³.

Ответ: 60 см³

Пример 5.2

Найдите площадь поверхности куба с ребром 2 см.

  1. Одна грань имеет площадь 2² = 4 см².
  2. У куба шесть граней: S = 6 · 4 = 24 см².

Ответ: 24 см²

Типичные ошибки

  • принимать боковое ребро за высоту наклонной призмы
  • терять коэффициент 1/3 у пирамиды
  • строить сечение без проверки принадлежности точек граням

Открыть отдельный урок

Закрепление материала

Мини-тест

Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.

  1. Задание 1
    Сколько концов имеет отрезок?
  2. Задание 2
    С какого действия разумно начать работу по теме «Точка, прямая, отрезок, луч и угол»?
  3. Задание 3
    Найдите длину отрезка между точками −2 и 5 на координатной прямой.
  4. Задание 4
    Как расположен радиус к касательной в точке касания?
  5. Задание 5
    С какого действия разумно начать работу по теме «Многоугольники, окружность и круг»?
  6. Задание 6
    Найдите периметр четырёхугольника со сторонами 3 см, 4 см, 5 см и 6 см.
  7. Задание 7
    Какой угол называют прямым?
  8. Задание 8
    С какого действия разумно начать работу по теме «Измерение и построение углов»?
  9. Задание 9
    К какому виду относится угол 125°?
  10. Задание 10
    В каких единицах измеряют площадь?
  11. Задание 11
    С какого действия разумно начать работу по теме «Периметр и площадь прямоугольника»?
  12. Задание 12
    Найдите площадь прямоугольника со сторонами 4 см и 7 см.

Учебный маршрут

Все материалы по порядку

Используйте этот список как маршрут повторения: отдельная страница каждого урока содержит дополнительные задания, тренажёры или связи с соседними темами.

Шаг 1 · УрокТочка, прямая, отрезок, луч и уголШаг 2 · УрокМногоугольники, окружность и кругШаг 3 · УрокИзмерение и построение угловШаг 4 · УрокПериметр и площадь прямоугольникаШаг 5 · УрокКуб, параллелепипед, развёртки и объём

Первоисточники

Откуда взяты границы модуля

Уроки написаны Умбликом, а состав и последовательность тем сверены с федеральной рабочей программой. Порядок прохождения в конкретной школе может отличаться.