Делимость и дроби
Рациональные числа, отношения, координаты, формулы и геометрические модели.
Результат модуля
Что вы научитесь делать
- Объяснять тему «НОД и НОК», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
- Объяснять тему «действия с дробями», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
- Объяснять тему «отношения и пропорции», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
Модуль рассчитан не на беглое чтение, а на несколько занятий. Сначала разберите теорию и примеры, затем решите задания без подсказки и только после этого отметьте модуль изученным.
Подробная теория
Конспекты, формулы и разобранные задачи
Ниже собраны все опорные материалы модуля. Каждый конспект объясняет смысл правила, показывает алгоритм применения и разбирает задачу по шагам. Отдельные уроки остаются доступны для повторения и дополнительной практики.
Алгебра · подробный конспект
НОД, НОК и деление с остатком
Делимость помогает исследовать целые числа без выполнения полного деления и строить точные алгоритмы.
Число a делится на b, если существует целое k такое, что a = bk. НОД делит оба числа, а НОК кратно каждому из них.
Разложение на простые множители позволяет находить НОД по общим множителям, а НОК — по всем множителям с наибольшими степенями.
Алгоритм Евклида заменяет пару чисел делителем и остатком, сохраняя их общие делители. Последний ненулевой остаток и есть НОД исходных чисел.
Связь НОД(a, b) · НОК(a, b) = a · b для положительных чисел даёт дополнительную проверку. В делении с остатком остаток всегда неотрицателен и строго меньше делителя.
Почему это работает. Деление с остатком единственным образом представляет число как несколько полных групп и остаток. Алгоритм Евклида работает потому, что общие делители чисел a и b совпадают с общими делителями b и остатка a mod b.
Формула и обозначения
Как читать математическую запись
При делении a на b число a равно b, умноженному на неполное частное q, плюс остаток r; остаток неотрицателен и меньше b.
Теорема о делении с остатком.- a = bq + r
- деление a на b с неполным частным q
- 0 ≤ r < b
- условие на остаток
- НОД(a, b)
- наибольший общий делитель
- НОК(a, b)
- наименьшее общее кратное
Алгоритм
Как решать задачи этого типа
- разложить числа на простые множители
- выбрать нужные степени множителей
- проверить делением
Разбор по шагам
Два примера
Найдите НОД чисел 18 и 24.
- 18 = 2 · 3², 24 = 2³ · 3.
- Берём общие множители с меньшими степенями: 2 · 3.
Ответ: 6
Найдите НОД(84, 30) алгоритмом Евклида.
- 84 = 30 · 2 + 24.
- 30 = 24 · 1 + 6.
- 24 = 6 · 4, последний ненулевой остаток равен 6.
Ответ: 6
Типичные ошибки
- путать НОД и НОК
- считать единицу простым числом
- допускать остаток, не меньший делителя
Алгебра · подробный конспект
Дроби, отношения и пропорции
Дроби, отношения и проценты описывают часть целого и позволяют сравнивать величины в едином масштабе.
Дробь a/b при b ≠ 0 означает результат деления a на b; процент — одна сотая часть величины.
Для сложения дробей их приводят к общему знаменателю, а для нахождения p процентов от числа умножают число на p/100.
Отношение a : b сравнивает две величины делением и имеет смысл только после согласования единиц. Пропорция утверждает равенство двух отношений, а её основное свойство даёт ad = bc.
В действиях с дробями общий знаменатель нужен для сложения и сравнения, но при умножении перемножают числители и знаменатели. Сокращать можно общие множители числителя и знаменателя, а не слагаемые.
Почему это работает. Дробь обозначает и результат деления, и часть единицы. Общий знаменатель разбивает сравниваемые доли на одинаковые части; только после этого их числители можно складывать или сравнивать.
Формула и обозначения
Как читать математическую запись
Чтобы найти p процентов от числа a, нужно p разделить на сто и умножить полученную долю на a.
Нахождение процента от величины.- a/b
- a — числитель, b — знаменатель, b ≠ 0
- p%
- p сотых долей, то есть p/100
- a : b
- отношение величины a к величине b
- НОЗ
- наименьший общий знаменатель
Алгоритм
Как решать задачи этого типа
- определить целое и искомую часть
- перевести проценты или отношения в дробь
- выполнить действие и проверить смысл результата
Разбор по шагам
Два примера
Найдите 15% от 200.
- 15% = 15/100 = 0,15.
- Умножаем 200 · 0,15.
Ответ: 30
Найдите 15% от 240.
- 15% = 15/100 = 0,15.
- Умножаем целое на долю: 240 · 0,15.
- Получаем 36.
Ответ: 36
Типичные ошибки
- делить на процент вместо умножения
- складывать дроби без общего знаменателя
- не указывать, какая величина принята за 100%
Закрепление материала
Мини-тест
Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.
Учебный маршрут
Все материалы по порядку
Используйте этот список как маршрут повторения: отдельная страница каждого урока содержит дополнительные задания, тренажёры или связи с соседними темами.
Первоисточники
Откуда взяты границы модуля
Уроки написаны Умбликом, а состав и последовательность тем сверены с федеральной рабочей программой. Порядок прохождения в конкретной школе может отличаться.