Рациональные числа
Рациональные числа, отношения, координаты, формулы и геометрические модели.
Результат модуля
Что вы научитесь делать
- Объяснять тему «положительные и отрицательные числа», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
- Объяснять тему «координатная прямая», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
- Объяснять тему «координатная плоскость», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
Модуль рассчитан не на беглое чтение, а на несколько занятий. Сначала разберите теорию и примеры, затем решите задания без подсказки и только после этого отметьте модуль изученным.
Подробная теория
Конспекты, формулы и разобранные задачи
Ниже собраны все опорные материалы модуля. Каждый конспект объясняет смысл правила, показывает алгоритм применения и разбирает задачу по шагам. Отдельные уроки остаются доступны для повторения и дополнительной практики.
Алгебра · подробный конспект
Положительные и отрицательные числа
Числа и вычисления образуют язык всей математики: важно не только получить ответ, но и оценить его разумность.
Числовые множества последовательно расширяются: натуральные входят в целые, целые — в рациональные, а рациональные — в действительные.
Порядок действий: скобки, степени и корни, умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Знак числа показывает положение относительно нуля на координатной прямой, а модуль — расстояние до нуля. Противоположные числа имеют равные модули и сумму, равную нулю.
При сложении чисел разных знаков из большего модуля вычитают меньший и сохраняют знак числа с большим модулем. Вычитание заменяют прибавлением противоположного числа.
Почему это работает. Числовые правила позволяют заменять длинные цепочки вычислений эквивалентными короткими. Законы сложения и умножения сохраняют значение выражения, а степени и корни описывают повторное умножение и обратную ему операцию.
Формула и обозначения
Как читать математическую запись
При умножении степеней с одинаковым основанием основание сохраняют, а показатели степеней складывают.
Свойство степеней с одинаковым основанием.- aⁿ
- произведение n одинаковых множителей a
- √a
- неотрицательное число, квадрат которого равен a
- |a|
- расстояние от a до нуля
- −a
- число, противоположное a
Алгоритм
Как решать задачи этого типа
- определить допустимые действия
- соблюсти порядок вычислений
- оценить знак и примерный размер ответа
Разбор по шагам
Два примера
Вычислите 2³ · 2⁴.
- Основания одинаковы, поэтому показатели складываются.
- 2³ · 2⁴ = 2⁷.
Ответ: 128
Упростите 2³ · 2⁵ / 2⁴.
- При умножении показатели складываются: 2³ · 2⁵ = 2⁸.
- При делении показатели вычитаются: 2⁸ / 2⁴ = 2⁴.
- 2⁴ = 16.
Ответ: 16
Типичные ошибки
- нарушать порядок действий
- складывать основания степеней
- терять знак отрицательного числа
Алгебра · подробный конспект
Буквенные выражения, формулы и координатная плоскость
Алгебраические выражения позволяют записывать общие закономерности и выполнять преобразования без подстановки конкретных чисел.
Многочлен — сумма одночленов. Подобные слагаемые имеют одинаковую буквенную часть и могут быть объединены.
Тождественные преобразования меняют форму записи, но не значение выражения при всех допустимых значениях переменных.
Буква может обозначать переменную величину, а формула — устойчивую связь величин. Значение выражения получают подстановкой с обязательными скобками вокруг отрицательных чисел.
Точка A(x; y) задаётся сначала абсциссой, затем ординатой. Алгебраическая формула и координатная плоскость связаны: пары значений переменных можно отмечать точками и исследовать как график.
Почему это работает. Тождества сокращённого умножения получаются обычным раскрытием скобок, но записывают часто встречающиеся схемы короче. Теорема Безу связывает деление многочлена на x − a с простым вычислением его значения P(a).
Формула и обозначения
Как читать математическую запись
Квадрат суммы равен квадрату первого слагаемого плюс удвоенное произведение слагаемых плюс квадрат второго слагаемого.
Квадрат суммы — одна из основных формул сокращённого умножения.- P(x)
- многочлен от переменной x
- deg P
- наибольшая степень с ненулевым коэффициентом
- P(a) = 0
- число a является корнем многочлена
- x − a
- делитель многочлена, если a — его корень
Алгоритм
Как решать задачи этого типа
- определить структуру выражения
- раскрыть скобки или разложить на множители
- привести подобные слагаемые
Разбор по шагам
Два примера
Раскройте скобки: (x + 3)².
- Используем квадрат суммы a² + 2ab + b².
- Получаем x² + 2 · x · 3 + 9.
Ответ: x² + 6x + 9
Разложите x² − 9 на множители.
- Это разность квадратов: x² − 3².
- Применяем a² − b² = (a − b)(a + b).
Ответ: (x − 3)(x + 3)
Типичные ошибки
- забывать удвоенное произведение
- складывать показатели при сложении
- сокращать слагаемые вместо множителей
Закрепление материала
Мини-тест
Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.
Учебный маршрут
Все материалы по порядку
Используйте этот список как маршрут повторения: отдельная страница каждого урока содержит дополнительные задания, тренажёры или связи с соседними темами.
Первоисточники
Откуда взяты границы модуля
Уроки написаны Умбликом, а состав и последовательность тем сверены с федеральной рабочей программой. Порядок прохождения в конкретной школе может отличаться.