УмбликМатематика
К маршруту 6 класса
Математика6 классБазовый курс 4 подробных конспектовНагрузка предмета в 6 классе: 170 ч, 5 ч/нед.10 заданий и разборов

Формулы и задачи

Рациональные числа, отношения, координаты, формулы и геометрические модели.

Модуль школьной программы

Результат модуля

Что вы научитесь делать

  • Объяснять тему «буквенные выражения», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
  • Объяснять тему «проценты», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
  • Объяснять тему «скорость и работа», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ

Модуль рассчитан не на беглое чтение, а на несколько занятий. Сначала разберите теорию и примеры, затем решите задания без подсказки и только после этого отметьте модуль изученным.

Подробная теория

Конспекты, формулы и разобранные задачи

Ниже собраны все опорные материалы модуля. Каждый конспект объясняет смысл правила, показывает алгоритм применения и разбирает задачу по шагам. Отдельные уроки остаются доступны для повторения и дополнительной практики.

1

Алгебра · подробный конспект

Проценты и масштаб

Дроби, отношения и проценты описывают часть целого и позволяют сравнивать величины в едином масштабе.

Дробь a/b при b ≠ 0 означает результат деления a на b; процент — одна сотая часть величины.

Опорная идея

Для сложения дробей их приводят к общему знаменателю, а для нахождения p процентов от числа умножают число на p/100.

Один процент — одна сотая целого; поэтому всегда нужно явно установить, какая величина принята за 100%. Увеличение на p% и нахождение p% от числа — разные операции.

Масштаб 1 : n означает, что одна единица на плане соответствует n таким же единицам на местности. Перед умножением или делением длины переводят в одинаковые единицы.

Почему это работает. Дробь обозначает и результат деления, и часть единицы. Общий знаменатель разбивает сравниваемые доли на одинаковые части; только после этого их числители можно складывать или сравнивать.

Формула и обозначения

Как читать математическую запись

p% от a=p100 ap\%\text{ от }a=\frac{p}{100}\,a
Формула словами

Чтобы найти p процентов от числа a, нужно p разделить на сто и умножить полученную долю на a.

Нахождение процента от величины.
a/b
a — числитель, b — знаменатель, b ≠ 0
p%
p сотых долей, то есть p/100
a : b
отношение величины a к величине b
НОЗ
наименьший общий знаменатель

Алгоритм

Как решать задачи этого типа

  1. определить целое и искомую часть
  2. перевести проценты или отношения в дробь
  3. выполнить действие и проверить смысл результата

Разбор по шагам

Два примера

Пример 1.1

Найдите 15% от 200.

  1. 15% = 15/100 = 0,15.
  2. Умножаем 200 · 0,15.

Ответ: 30

Пример 1.2

Найдите 15% от 240.

  1. 15% = 15/100 = 0,15.
  2. Умножаем целое на долю: 240 · 0,15.
  3. Получаем 36.

Ответ: 36

Типичные ошибки

  • делить на процент вместо умножения
  • складывать дроби без общего знаменателя
  • не указывать, какая величина принята за 100%

Открыть отдельный урок

2

Алгебра · подробный конспект

Буквенные выражения, формулы и координатная плоскость

Алгебраические выражения позволяют записывать общие закономерности и выполнять преобразования без подстановки конкретных чисел.

Многочлен — сумма одночленов. Подобные слагаемые имеют одинаковую буквенную часть и могут быть объединены.

Опорная идея

Тождественные преобразования меняют форму записи, но не значение выражения при всех допустимых значениях переменных.

Буква может обозначать переменную величину, а формула — устойчивую связь величин. Значение выражения получают подстановкой с обязательными скобками вокруг отрицательных чисел.

Точка A(x; y) задаётся сначала абсциссой, затем ординатой. Алгебраическая формула и координатная плоскость связаны: пары значений переменных можно отмечать точками и исследовать как график.

Почему это работает. Тождества сокращённого умножения получаются обычным раскрытием скобок, но записывают часто встречающиеся схемы короче. Теорема Безу связывает деление многочлена на x − a с простым вычислением его значения P(a).

Формула и обозначения

Как читать математическую запись

(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
Формула словами

Квадрат суммы равен квадрату первого слагаемого плюс удвоенное произведение слагаемых плюс квадрат второго слагаемого.

Квадрат суммы — одна из основных формул сокращённого умножения.
P(x)
многочлен от переменной x
deg P
наибольшая степень с ненулевым коэффициентом
P(a) = 0
число a является корнем многочлена
x − a
делитель многочлена, если a — его корень

Алгоритм

Как решать задачи этого типа

  1. определить структуру выражения
  2. раскрыть скобки или разложить на множители
  3. привести подобные слагаемые

Разбор по шагам

Два примера

Пример 2.1

Раскройте скобки: (x + 3)².

  1. Используем квадрат суммы a² + 2ab + b².
  2. Получаем x² + 2 · x · 3 + 9.

Ответ: x² + 6x + 9

Пример 2.2

Разложите x² − 9 на множители.

  1. Это разность квадратов: x² − 3².
  2. Применяем a² − b² = (a − b)(a + b).

Ответ: (x − 3)(x + 3)

Типичные ошибки

  • забывать удвоенное произведение
  • складывать показатели при сложении
  • сокращать слагаемые вместо множителей

Открыть отдельный урок

3

Вероятность и статистика · конспект

Отношения и пропорции

Сравниваем величины делением и восстанавливаем части по известному отношению.

Простыми словами

Здесь разбирается математический инструмент, который понадобится дальше. Сначала поймите смысл действия на простом числе или рисунке, а затем переходите к буквенной записи.

Опорные записи

Формулы и условия применения

a:b=ab,b≠0a:b=\frac ab,\qquad b\ne0

Отношение a к b — результат деления.

ab=cd⟺ad=bc,b,d≠0\frac ab=\frac cd\quad\Longleftrightarrow\quad ad=bc,\qquad b,d\ne0

Основное свойство пропорции.

Алгоритм

Как перейти от условия к ответу

  1. Определите, что обозначает каждая буква, приведите величины к одному виду и выполняйте действия по порядку.
  2. Запишите промежуточные величины и выполните вычисления по шагам, не меняя смысл события или статистического показателя.
  3. Выполните обратное действие и убедитесь, что получили исходные данные.

Разобранный пример

Красных жетонов 6, синих 9. Чему равно отношение числа красных к числу синих? Ответьте дробью.

Простой уровень

Подсказка: Делите первую названную величину на вторую.

  1. Отношение равно 6/9.
  2. Сокращаем: 2/3.

Ответ: 2/3

Что проверить перед ответом

  • Не начинайте вычисления, пока не определили смысл величин в теме «Отношения и пропорции».
  • Не применяйте формулу без проверки её условий: Определите, что обозначает каждая буква, приведите величины к одному виду и выполняйте действия по порядку.
  • После вычисления выполните смысловую проверку: Выполните обратное действие и убедитесь, что получили исходные данные.
Попробуйте самостоятельно

В наборе 42 жетона, красные и синие относятся как 2:5. Сколько красных?

Сначала решите без подсказки. После этого раскройте пошаговый разбор и сопоставьте переходы со своей записью.

Показать подсказку и решение

Разделите итог на семь условных частей.

  1. Одна часть: 42/(2+5)=6.
  2. Красных две части: 2×6=12.

Ответ: 12

Полная статья и три уровня задач

4

Вероятность и статистика · конспект

Проценты в задачах

Переводим проценты в доли, находим часть числа и различаем проценты и процентные пункты.

Простыми словами

Здесь разбирается математический инструмент, который понадобится дальше. Сначала поймите смысл действия на простом числе или рисунке, а затем переходите к буквенной записи.

Опорные записи

Формулы и условия применения

r%=r100r\%=\frac{r}{100}

Процент — одна сотая; 25 процентов равны 0,25.

a от b  ⟶  ab⋅100%,b>0a\text{ от }b\;\longrightarrow\;\frac{a}{b}\cdot100\%,\qquad b>0

Делим часть на целое и переводим долю в проценты.

Алгоритм

Как перейти от условия к ответу

  1. Определите, что обозначает каждая буква, приведите величины к одному виду и выполняйте действия по порядку.
  2. Запишите промежуточные величины и выполните вычисления по шагам, не меняя смысл события или статистического показателя.
  3. Выполните обратное действие и убедитесь, что получили исходные данные.

Разобранный пример

Запишите 18% десятичным числом (без знака процента).

Простой уровень

Подсказка: Процент — одна сотая. Разделите 18 на 100.

  1. 18% означает 18 частей из 100.
  2. 18/100 = 0,18.

Ответ: 0,18

Что проверить перед ответом

  • Не начинайте вычисления, пока не определили смысл величин в теме «Проценты без путаницы».
  • Не применяйте формулу без проверки её условий: Определите, что обозначает каждая буква, приведите величины к одному виду и выполняйте действия по порядку.
  • После вычисления выполните смысловую проверку: Выполните обратное действие и убедитесь, что получили исходные данные.
Попробуйте самостоятельно

В 80 испытаниях получилось 28 успехов. Сколько процентов испытаний были успешными? Укажите ответ со знаком %.

Сначала решите без подсказки. После этого раскройте пошаговый разбор и сопоставьте переходы со своей записью.

Показать подсказку и решение

Найдите долю 28/80 и переведите её в проценты.

  1. Доля успехов: 28/80 = 0,35.
  2. Умножаем долю на 100%: 0,35 × 100% = 35%.

Ответ: 35%

Полная статья и три уровня задач

Закрепление материала

Мини-тест

Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.

  1. Задание 1
    Чему равен один процент?
  2. Задание 2
    С какого действия разумно начать работу по теме «Проценты и масштаб»?
  3. Задание 3
    Найдите 15% от 200.
  4. Задание 4
    Какие слагаемые называют подобными?
  5. Задание 5
    С какого действия разумно начать работу по теме «Буквенные выражения, формулы и координатная плоскость»?
  6. Задание 6
    Раскройте скобки: (x + 3)².

Учебный маршрут

Все материалы по порядку

Используйте этот список как маршрут повторения: отдельная страница каждого урока содержит дополнительные задания, тренажёры или связи с соседними темами.

Шаг 1 · УрокПроценты и масштабШаг 2 · УрокБуквенные выражения, формулы и координатная плоскостьШаг 3 · МаршрутВероятность и статистика · 6 классШаг 4 · УрокОтношения и пропорцииШаг 5 · УрокПроценты в задачах

Первоисточники

Откуда взяты границы модуля

Уроки написаны Умбликом, а состав и последовательность тем сверены с федеральной рабочей программой. Порядок прохождения в конкретной школе может отличаться.