Геометрия и данные
Рациональные числа, отношения, координаты, формулы и геометрические модели.
Результат модуля
Что вы научитесь делать
- Объяснять тему «параллельность и перпендикулярность», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
- Объяснять тему «симметрия, окружность и тела», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
- Объяснять тему «круговые диаграммы», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
Модуль рассчитан не на беглое чтение, а на несколько занятий. Сначала разберите теорию и примеры, затем решите задания без подсказки и только после этого отметьте модуль изученным.
Подробная теория
Конспекты, формулы и разобранные задачи
Ниже собраны все опорные материалы модуля. Каждый конспект объясняет смысл правила, показывает алгоритм применения и разбирает задачу по шагам. Отдельные уроки остаются доступны для повторения и дополнительной практики.
Геометрия · подробный конспект
Параллельные и перпендикулярные прямые
Взаимное расположение прямых задаёт структуру чертежа и позволяет переносить информацию об углах.
Параллельные прямые на плоскости не пересекаются, а перпендикулярные пересекаются под прямым углом.
Если две параллельные прямые пересечены секущей, накрест лежащие углы равны.
Параллельные прямые на плоскости не пересекаются, а перпендикулярные образуют четыре прямых угла. Через точку вне прямой можно провести ровно одну параллельную ей прямую и ровно один перпендикуляр.
Для построения используют угольник и линейку, а не внешний вид рисунка. Перпендикулярность подтверждают углом 90°, параллельность — постоянным направлением или изученным признаком.
Почему это работает. При пересечении параллельных прямых секущей одинаковый наклон создаёт равные соответствующие углы. Перпендикулярность фиксирует прямой угол 90°, а свойства смежных и вертикальных углов позволяют восстановить остальные.
Формула и обозначения
Как читать математическую запись
Если прямая c перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй прямой.
Прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой.- a ∥ b
- прямые a и b параллельны
- a ⟂ b
- прямые перпендикулярны
- ∠1 = ∠2
- равенство углов
- 180°
- сумма смежных углов
Алгоритм
Как решать задачи этого типа
- обозначить прямые и углы
- найти признак параллельности или перпендикулярности
- перенести равенства углов
Разбор по шагам
Два примера
Один из смежных углов равен 35°. Найдите другой.
- Сумма смежных углов равна 180°.
- 180° − 35° = 145°.
Ответ: 145°
Один из углов при пересечении двух прямых равен 38°. Найдите остальные.
- Вертикальный угол также равен 38°.
- Каждый смежный угол равен 180° − 38° = 142°.
Ответ: 38°, 142°, 142°
Типичные ошибки
- считать прямые параллельными по внешнему виду
- путать вертикальные и смежные углы
- забывать сумму 180°
Геометрия · подробный конспект
Виды треугольников и четырёхугольников
Четырёхугольники классифицируют по параллельности сторон, углам и свойствам диагоналей.
Треугольники по сторонам бывают разносторонними, равнобедренными и равносторонними, а по углам — остроугольными, прямоугольными и тупоугольными. Четырёхугольники различают по параллельности и равенству сторон, углам и диагоналям.
Квадрат одновременно является прямоугольником, ромбом и параллелограммом, а равносторонний треугольник — равнобедренным; классификация по сторонам и по углам независима.
Треугольники классифицируют по сторонам и по углам, а четырёхугольники — по параллельности сторон, равенству сторон, прямым углам и свойствам диагоналей. Одна фигура может одновременно относиться к нескольким классам.
Квадрат является и прямоугольником, и ромбом, и параллелограммом; равносторонний треугольник является равнобедренным. Обратные утверждения без дополнительных признаков неверны.
Почему это работает. Свойства четырёхугольников выводятся из параллельности сторон и разбиения диагональю на треугольники. Например, диагональ параллелограмма создаёт два равных треугольника, откуда следуют равенства сторон и углов.
Формула и обозначения
Как читать математическую запись
Сумма трёх внутренних углов треугольника равна ста восьмидесяти градусам, а сумма четырёх внутренних углов четырёхугольника — трёмстам шестидесяти градусам.
Суммы внутренних углов треугольника и четырёхугольника.- a, b
- длины соседних сторон
- hₐ
- высота к стороне a
- d₁, d₂
- диагонали
- S = ahₐ
- площадь параллелограмма
Алгоритм
Как решать задачи этого типа
- отдельно проверить равенство сторон, величины углов и параллельность сторон
- назвать все классы, определениям которых удовлетворяет фигура
- проверить классификацию по сумме углов и не делать выводов по внешнему виду
Разбор по шагам
Два примера
Стороны треугольника равны 5 см, 5 см и 8 см. Каков его вид по сторонам?
- Две стороны имеют равную длину 5 см.
- Треугольник с двумя равными сторонами является равнобедренным.
Ответ: Равнобедренный
Четырёхугольник имеет четыре равные стороны и четыре прямых угла. Назовите его наиболее специальный вид.
- Четыре прямых угла дают прямоугольник, четыре равные стороны — ромб.
- Фигура, обладающая обоими свойствами, является квадратом.
Ответ: Квадрат
Типичные ошибки
- принимать боковую сторону за высоту
- переносить свойства квадрата на любую трапецию
- делить площадь параллелограмма на два
Геометрия · подробный конспект
Осевая, центральная и зеркальная симметрия
Геометрические преобразования описывают, как фигура меняет положение, размер или ориентацию.
Движение сохраняет расстояния между точками, поэтому переводит фигуру в равную ей фигуру.
Параллельный перенос прибавляет один и тот же вектор к координатам каждой точки.
При осевой симметрии ось является серединным перпендикуляром к отрезку AA′, а при центральной симметрии центр O — серединой AA′. Зеркальная симметрия на плоскости совпадает с отражением относительно прямой.
Строят образы характерных точек, сохраняя равные расстояния до оси или центра, затем соединяют их в прежнем порядке. Симметрия сохраняет длины и углы.
Почему это работает. Движение сохраняет расстояния, а значит — углы, площади и форму фигуры. Параллельный перенос прибавляет один и тот же вектор ко всем точкам; поворот сохраняет расстояние до центра и изменяет направление на один угол.
Формула и обозначения
Как читать математическую запись
При переносе на вектор с координатами a и b к x каждой точки прибавляют a, а к y прибавляют b.
Параллельный перенос на вектор (a; b).- A → A′
- образ точки A
- v⃗
- вектор переноса
- O
- центр поворота или симметрии
- φ
- угол поворота
Алгоритм
Как решать задачи этого типа
- определить вид преобразования
- найти образ характерных точек
- проверить сохраняемые свойства
Разбор по шагам
Два примера
Перенесите точку (1; 2) на вектор (3; −1).
- Прибавим соответствующие координаты.
- (1 + 3; 2 − 1).
Ответ: (4; 1)
Перенесите B(−1; 2) на вектор v⃗ = (4; −3).
- Складываем соответствующие координаты.
- x′ = −1 + 4 = 3.
- y′ = 2 − 3 = −1.
Ответ: B′(3; −1)
Типичные ошибки
- менять только одну точку фигуры
- путать поворот и гомотетию
- считать, что гомотетия всегда сохраняет длины
Геометрия · подробный конспект
Длина окружности и площадь круга
Окружность объединяет точки, равноудалённые от центра, а её углы, хорды и касательные связаны строгими теоремами.
Радиус соединяет центр с точкой окружности, диаметр проходит через центр, а касательная имеет с окружностью одну общую точку.
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
Длина окружности C = 2πR = πd относится к границе, а площадь круга S = πR² — к внутренней области. Радиус равен половине диаметра.
Сначала выясняют, дан радиус или диаметр, затем выбирают формулу и сохраняют π в точном ответе, если округление не требуется условием.
Почему это работает. Все точки окружности находятся на одном расстоянии от центра. Из равенства радиусов возникают равнобедренные треугольники, а из них — связи между центральными, вписанными углами, хордами и касательными.
Формула и обозначения
Как читать математическую запись
Длина окружности равна двум радиусам, умноженным на число пи; площадь круга равна пи, умноженному на квадрат радиуса.
Длина окружности и площадь круга.- R
- радиус окружности
- d = 2R
- диаметр
- L = 2πR
- длина окружности
- S = πR²
- площадь круга
Алгоритм
Как решать задачи этого типа
- отметить центр, радиусы и точки касания
- найти подходящий угол или треугольник
- применить теорему и проверить единицы
Разбор по шагам
Два примера
Найдите длину окружности радиуса 3.
- Используем формулу L = 2πR.
- Подставляем R = 3.
Ответ: 6π
Радиус круга равен 6. Найдите длину окружности и площадь.
- L = 2π · 6 = 12π.
- S = π · 6² = 36π.
Ответ: L = 12π, S = 36π
Типичные ошибки
- путать радиус и диаметр
- использовать формулу площади вместо длины
- не видеть прямой угол в точке касания
Геометрия · подробный конспект
Призма, пирамида, цилиндр, конус, шар и сфера
Тела вращения возникают при вращении плоской фигуры вокруг прямой и моделируют многие реальные объекты.
Призма и пирамида — многогранники с плоскими гранями; цилиндр и конус имеют круговые основания и кривую боковую поверхность; сфера является границей шара, а шар включает все внутренние точки.
У призмы два равных параллельных многоугольных основания, у пирамиды одно основание и общая вершина боковых граней, у цилиндра два круга, у конуса один круг и вершина.
Призма и пирамида являются многогранниками с плоскими гранями; цилиндр, конус и шар имеют кривые поверхности. Сфера — граница шара, так же как окружность — граница круга.
Тело распознают по основаниям и боковой поверхности: у призмы два равных параллельных многоугольника, у пирамиды одно основание и общая вершина боковых граней, у цилиндра и конуса основания круговые.
Почему это работает. Тела вращения получаются непрерывным поворотом плоской фигуры вокруг оси. Поэтому их размеры связаны с исходными радиусом и высотой, а формулы объёма можно понимать как суммы площадей тонких поперечных сечений.
Формула и обозначения
Как читать математическую запись
Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх измерений, а объём цилиндра — площади круглого основания, умноженной на высоту.
Примеры формул объёма многогранника и тела с круговым основанием.- R
- радиус основания или сферы
- h
- высота цилиндра или конуса
- l
- образующая конуса
- V, S
- объём и площадь поверхности
Алгоритм
Как решать задачи этого типа
- определить число и форму оснований тела
- проверить, состоит ли боковая поверхность из плоских граней или является кривой
- отличить поверхность от содержащего её пространственного тела
Разбор по шагам
Два примера
У тела два равных параллельных треугольных основания и три прямоугольные боковые грани. Что это за тело?
- Два равных параллельных многоугольника являются основаниями призмы.
- Треугольная форма оснований даёт треугольную призму.
Ответ: Треугольная призма
Чем шар отличается от сферы?
- Сфера состоит из точек на фиксированном расстоянии от центра.
- Шар содержит сферу и все точки внутри неё.
Ответ: Шар включает внутренность, сфера является его границей
Типичные ошибки
- путать площадь поверхности и объём
- использовать диаметр вместо радиуса
- забывать кубические единицы
Вероятность и статистика · конспект
Таблицы данных
Читаем строки и столбцы, проверяем итог и превращаем записи в понятное сравнение.
Здесь разбирается математический инструмент, который понадобится дальше. Сначала поймите смысл действия на простом числе или рисунке, а затем переходите к буквенной записи.
Опорные записи
Формулы и условия применения
Число наблюдений равно сумме частот непересекающихся категорий, охватывающих все наблюдения.
Доля категории — её частота, делённая на общий объём данных.
Алгоритм
Как перейти от условия к ответу
- Определите, что обозначает каждая буква, приведите величины к одному виду и выполняйте действия по порядку.
- Запишите промежуточные величины и выполните вычисления по шагам, не меняя смысл события или статистического показателя.
- Выполните обратное действие и убедитесь, что получили исходные данные.
Разобранный пример
В таблице выдачи книг указано: понедельник — 7 книг, вторник — 9, среда — 4. Сколько книг выдали за эти три дня?
Подсказка: Каждая строка относится к отдельному дню, поэтому количества можно сложить.
- В таблице три непересекающихся по времени группы записей.
- Сумма выдач: 7 + 9 + 4 = 20 книг.
Ответ: 20
Что проверить перед ответом
- Не начинайте вычисления, пока не определили смысл величин в теме «Таблицы данных».
- Не применяйте формулу без проверки её условий: Определите, что обозначает каждая буква, приведите величины к одному виду и выполняйте действия по порядку.
- После вычисления выполните смысловую проверку: Выполните обратное действие и убедитесь, что получили исходные данные.
15 учеников указали ровно один способ добраться до школы: пешком — 6, автобусом — 5, на автомобиле — 4. Какую долю составляют приехавшие автобусом?
Сначала решите без подсказки. После этого раскройте пошаговый разбор и сопоставьте переходы со своей записью.
Показать подсказку и решение
Выберите нужную строку и разделите её частоту на общий итог, а не на число строк.
- Общий итог: 6 + 5 + 4 = 15 учеников.
- Автобусом приехали 5 человек.
- Их доля: 5/15 = 1/3.
Ответ: 1/3
Вероятность и статистика · конспект
Круговые и столбчатые диаграммы
Переводим таблицы в графическое сравнение и проверяем подписи, масштабы и доли.
Здесь разбирается математический инструмент, который понадобится дальше. Сначала поймите смысл действия на простом числе или рисунке, а затем переходите к буквенной записи.
Опорные записи
Формулы и условия применения
Угол сектора пропорционален доле категории; категории должны составлять целое.
Алгоритм
Как перейти от условия к ответу
- Определите, что обозначает каждая буква, приведите величины к одному виду и выполняйте действия по порядку.
- Запишите промежуточные величины и выполните вычисления по шагам, не меняя смысл события или статистического показателя.
- Выполните обратное действие и убедитесь, что получили исходные данные.
Разобранный пример
Какой угол в градусах соответствует 25% круга?
Подсказка: Умножьте 360 на долю 0,25.
- Четверть полного оборота: 360×0,25.
- Получаем 90 градусов.
Ответ: 90
Что проверить перед ответом
- Не начинайте вычисления, пока не определили смысл величин в теме «Столбчатые и круговые диаграммы».
- Не применяйте формулу без проверки её условий: Определите, что обозначает каждая буква, приведите величины к одному виду и выполняйте действия по порядку.
- После вычисления выполните смысловую проверку: Выполните обратное действие и убедитесь, что получили исходные данные.
На диаграмме значения 16 и 24. Во сколько раз второе больше первого?
Сначала решите без подсказки. После этого раскройте пошаговый разбор и сопоставьте переходы со своей записью.
Показать подсказку и решение
Нужно отношение, а не разность.
- Делим 24 на 16.
- 24/16=1,5.
Ответ: 1,5
Закрепление материала
Мини-тест
Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.
Учебный маршрут
Все материалы по порядку
Используйте этот список как маршрут повторения: отдельная страница каждого урока содержит дополнительные задания, тренажёры или связи с соседними темами.
Первоисточники
Откуда взяты границы модуля
Уроки написаны Умбликом, а состав и последовательность тем сверены с федеральной рабочей программой. Порядок прохождения в конкретной школе может отличаться.