Осевая, центральная и зеркальная симметрия · 6 класс

$Умблик показывает математические модели на доске$

Посмотрите на идеюОсевая, центральная и зеркальная симметрия

На рисунке правило превращается в модель: отметьте известные элементы, связь между ними и только затем переходите к буквенной записи.

Главная идея

Что нужно понять

При осевой симметрии точка и её образ лежат на одном перпендикуляре к оси, по разные стороны на равных расстояниях от неё. При центральной симметрии центр является серединой отрезка между точкой и её образом.

Для осевой симметрии проведите перпендикуляр к оси и отложите равное расстояние по другую сторону. Точки на оси остаются на месте. Для центральной симметрии продолжите отрезок до центра за центр на ту же длину; сам центр остаётся на месте.

При осевой симметрии ось является серединным перпендикуляром к отрезку AA′, а при центральной симметрии центр O — серединой AA′. Зеркальная симметрия на плоскости совпадает с отражением относительно прямой.

Строят образы характерных точек, сохраняя равные расстояния до оси или центра, затем соединяют их в прежнем порядке. Симметрия сохраняет длины и углы.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Отражение в зеркале помогает представить осевую симметрию на плоскости. На клетчатой бумаге равные расстояния можно отсчитывать клетками. Центральную симметрию отличают по середине отрезка: здесь ориентиром служит точка, а не прямая.

Схема к теме

Алгоритм: Осевая, центральная и зеркальная симметрия

1. Определить, — относительно прямой или точки выполняется симметрия
2. Провести — перпендикуляр к оси либо прямую через исходную точку и центр
3. Отложить — равное расстояние на другой стороне и проверить положение образа

Шаги расположены в том порядке, в котором их нужно выполнять. Вывод: Для осевой симметрии проведите перпендикуляр к оси и отложите равное расстояние по другую сторону. Точки на оси остаются на месте. Для центральной симметрии продолжите отрезок до центра за центр на ту же длину; сам центр остаётся на месте.

Опорная формула

AH=HA'\quad\text{или}\quad AO=OA'

Формула словами

При отражении относительно оси расстояния от точки и образа до оси равны. При отражении относительно центра он лежит между точкой и образом на одинаковом расстоянии от них.

Равенство расстояний при осевой или центральной симметрии; расположение точек задаётся правилом построения.

Расшифровка

Обозначения и термины

A′: образ точки A после симметрии
H: точка пересечения перпендикуляра из A с осью
O: центр центральной симметрии
AH = HA′: точка и образ равноудалены от оси по перпендикуляру

Алгоритм

Как решать задачи

определить, относительно прямой или точки выполняется симметрия
провести перпендикуляр к оси либо прямую через исходную точку и центр
отложить равное расстояние на другой стороне и проверить положение образа

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

На клетчатой бумаге точка A расположена в 3 клетках справа от вертикальной оси симметрии. Где находится её образ A′?

Перпендикуляр к вертикальной оси идёт горизонтально через A.
Отсчитываем 3 клетки от оси в противоположную сторону — влево.
Высота точки не меняется, а расстояния до оси с обеих сторон равны.

Ответ: В 3 клетках слева от оси, на той же высоте

Пример 2

Точка B находится на 2 клетки правее и на 1 клетку выше точки O. Где находится образ B′ при центральной симметрии относительно O?

Центр O должен стать серединой отрезка BB′.
Меняем оба направления относительно O: отсчитываем 2 клетки влево и 1 клетку вниз.
Точки B, O и B′ лежат на одной прямой, а OB = OB′.

Ответ: На 2 клетки левее и на 1 клетку ниже O

Самопроверка

Типичные ошибки

Откладывать равное расстояние от оси по наклонной, а не по перпендикуляру.
При центральной симметрии менять только горизонтальное направление.
Считать, что точка на оси обязательно должна переместиться.

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Представьте, что вы объясняете тему «Осевая, центральная и зеркальная симметрия» ученику младше вас. Расскажите, что означает правило, почему оно работает и как не допустить первую типичную ошибку: Откладывать равное расстояние от оси по наклонной, а не по перпендикуляру.

В хорошем объяснении есть:

Вы объяснили главную идею без дословного пересказа: При осевой симметрии точка и её образ лежат на одном перпендикуляре к оси, по разные стороны на равных расстояниях от неё. При центральной симметрии центр является серединой отрезка между точкой и её образом.
Вы расшифровали математическую запись словами: При отражении относительно оси расстояния от точки и образа до оси равны. При отражении относительно центра он лежит между точкой и образом на одинаковом расстоянии от них.
Вы придумали собственный пример, выполнили алгоритм и проверили, соответствует ли ответ условию.

Закрепление материала

Мини-тест

Выберите ответ на каждый вопрос. Объяснения откроются после проверки.

Открываем мини-тест…