Виды треугольников и четырёхугольников · 6 класс

$Умблик показывает математические модели на доске$

Посмотрите на идеюВиды треугольников и четырёхугольников

На рисунке правило превращается в модель: отметьте известные элементы, связь между ними и только затем переходите к буквенной записи.

Главная идея

Что нужно понять

Треугольники по сторонам бывают разносторонними, равнобедренными и равносторонними, а по углам — остроугольными, прямоугольными и тупоугольными. Четырёхугольники различают по параллельности и равенству сторон, углам и диагоналям.

Квадрат одновременно является прямоугольником, ромбом и параллелограммом, а равносторонний треугольник — равнобедренным; классификация по сторонам и по углам независима.

Треугольники классифицируют по сторонам и по углам, а четырёхугольники — по параллельности сторон, равенству сторон, прямым углам и свойствам диагоналей. Одна фигура может одновременно относиться к нескольким классам.

Квадрат является и прямоугольником, и ромбом, и параллелограммом; равносторонний треугольник является равнобедренным. Обратные утверждения без дополнительных признаков неверны.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Свойства четырёхугольников выводятся из параллельности сторон и разбиения диагональю на треугольники. Например, диагональ параллелограмма создаёт два равных треугольника, откуда следуют равенства сторон и углов.

Схема к теме

Алгоритм: Виды треугольников и четырёхугольников

1. Отдельно — проверить равенство сторон, величины углов и параллельность сторон
2. Назвать все — классы, определениям которых удовлетворяет фигура
3. Проверить — классификацию по сумме углов и не делать выводов по внешнему виду

Шаги расположены в том порядке, в котором их нужно выполнять. Вывод: Квадрат одновременно является прямоугольником, ромбом и параллелограммом, а равносторонний треугольник — равнобедренным; классификация по сторонам и по углам независима.

Опорная формула

\alpha+\beta+\gamma=180^\circ,\qquad \alpha+\beta+\gamma+\delta=360^\circ

Формула словами

Сумма трёх внутренних углов треугольника равна ста восьмидесяти градусам, а сумма четырёх внутренних углов четырёхугольника — трёмстам шестидесяти градусам.

Суммы внутренних углов треугольника и четырёхугольника.

Расшифровка

Обозначения и термины

a, b: длины соседних сторон
hₐ: высота к стороне a
d₁, d₂: диагонали
S = ahₐ: площадь параллелограмма

Алгоритм

Как решать задачи

отдельно проверить равенство сторон, величины углов и параллельность сторон
назвать все классы, определениям которых удовлетворяет фигура
проверить классификацию по сумме углов и не делать выводов по внешнему виду

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Стороны треугольника равны 5 см, 5 см и 8 см. Каков его вид по сторонам?

Две стороны имеют равную длину 5 см.
Треугольник с двумя равными сторонами является равнобедренным.

Ответ: Равнобедренный

Пример 2

Четырёхугольник имеет четыре равные стороны и четыре прямых угла. Назовите его наиболее специальный вид.

Четыре прямых угла дают прямоугольник, четыре равные стороны — ромб.
Фигура, обладающая обоими свойствами, является квадратом.

Ответ: Квадрат

Самопроверка

Типичные ошибки

принимать боковую сторону за высоту
переносить свойства квадрата на любую трапецию
делить площадь параллелограмма на два

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Представьте, что вы объясняете тему «Виды треугольников и четырёхугольников» ученику младше вас. Расскажите, что означает правило, почему оно работает и как не допустить первую типичную ошибку: принимать боковую сторону за высоту

В хорошем объяснении есть:

Вы объяснили главную идею без дословного пересказа: Треугольники по сторонам бывают разносторонними, равнобедренными и равносторонними, а по углам — остроугольными, прямоугольными и тупоугольными. Четырёхугольники различают по параллельности и равенству сторон, углам и диагоналям.
Вы расшифровали математическую запись словами: Сумма трёх внутренних углов треугольника равна ста восьмидесяти градусам, а сумма четырёх внутренних углов четырёхугольника — трёмстам шестидесяти градусам.
Вы придумали собственный пример, выполнили алгоритм и проверили, соответствует ли ответ условию.

Закрепление материала

Мини-тест

Выберите ответ на каждый вопрос. Объяснения откроются после проверки.

Открываем мини-тест…