Алгебра и линейные модели
Первый год трёх параллельных математических курсов.
Результат модуля
Что вы научитесь делать
- Объяснять тему «степени и многочлены», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
- Объяснять тему «линейные уравнения и системы», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
- Объяснять тему «линейная функция», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
Модуль рассчитан не на беглое чтение, а на несколько занятий. Сначала разберите теорию и примеры, затем решите задания без подсказки и только после этого отметьте модуль изученным.
Подробная теория
Конспекты, формулы и разобранные задачи
Ниже собраны все опорные материалы модуля. Каждый конспект объясняет смысл правила, показывает алгоритм применения и разбирает задачу по шагам. Отдельные уроки остаются доступны для повторения и дополнительной практики.
Алгебра · подробный конспект
Рациональные числа и степени
Числа и вычисления образуют язык всей математики: важно не только получить ответ, но и оценить его разумность.
Числовые множества последовательно расширяются: натуральные входят в целые, целые — в рациональные, а рациональные — в действительные.
Порядок действий: скобки, степени и корни, умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Рациональные числа представимы дробью m/n при n ≠ 0; к ним относятся целые и конечные или периодические десятичные дроби. Действия подчиняются правилам знаков.
Степень с натуральным показателем — повторное умножение одинаковых множителей. Скобки принципиальны: (−2)⁴ положительно, а −2⁴ означает число, противоположное 2⁴.
Почему это работает. Числовые правила позволяют заменять длинные цепочки вычислений эквивалентными короткими. Законы сложения и умножения сохраняют значение выражения, а степени и корни описывают повторное умножение и обратную ему операцию.
Формула и обозначения
Как читать математическую запись
При умножении степеней с одинаковым основанием основание сохраняют, а показатели степеней складывают.
Свойство степеней с одинаковым основанием.- aⁿ
- произведение n одинаковых множителей a
- √a
- неотрицательное число, квадрат которого равен a
- |a|
- расстояние от a до нуля
- −a
- число, противоположное a
Алгоритм
Как решать задачи этого типа
- определить допустимые действия
- соблюсти порядок вычислений
- оценить знак и примерный размер ответа
Разбор по шагам
Два примера
Вычислите 2³ · 2⁴.
- Основания одинаковы, поэтому показатели складываются.
- 2³ · 2⁴ = 2⁷.
Ответ: 128
Упростите 2³ · 2⁵ / 2⁴.
- При умножении показатели складываются: 2³ · 2⁵ = 2⁸.
- При делении показатели вычитаются: 2⁸ / 2⁴ = 2⁴.
- 2⁴ = 16.
Ответ: 16
Типичные ошибки
- нарушать порядок действий
- складывать основания степеней
- терять знак отрицательного числа
Алгебра · подробный конспект
Одночлены и многочлены
Алгебраические выражения позволяют записывать общие закономерности и выполнять преобразования без подстановки конкретных чисел.
Многочлен — сумма одночленов. Подобные слагаемые имеют одинаковую буквенную часть и могут быть объединены.
Тождественные преобразования меняют форму записи, но не значение выражения при всех допустимых значениях переменных.
Одночлен является произведением числа и степеней переменных, а многочлен — суммой одночленов. Складывать можно только подобные слагаемые с одинаковой буквенной частью.
При умножении одночленов коэффициенты перемножают, а показатели одинаковых переменных складывают. Степень многочлена определяет наибольшая степень его ненулевого одночлена после приведения подобных.
Почему это работает. Тождества сокращённого умножения получаются обычным раскрытием скобок, но записывают часто встречающиеся схемы короче. Теорема Безу связывает деление многочлена на x − a с простым вычислением его значения P(a).
Формула и обозначения
Как читать математическую запись
Квадрат суммы равен квадрату первого слагаемого плюс удвоенное произведение слагаемых плюс квадрат второго слагаемого.
Квадрат суммы — одна из основных формул сокращённого умножения.- P(x)
- многочлен от переменной x
- deg P
- наибольшая степень с ненулевым коэффициентом
- P(a) = 0
- число a является корнем многочлена
- x − a
- делитель многочлена, если a — его корень
Алгоритм
Как решать задачи этого типа
- определить структуру выражения
- раскрыть скобки или разложить на множители
- привести подобные слагаемые
Разбор по шагам
Два примера
Раскройте скобки: (x + 3)².
- Используем квадрат суммы a² + 2ab + b².
- Получаем x² + 2 · x · 3 + 9.
Ответ: x² + 6x + 9
Разложите x² − 9 на множители.
- Это разность квадратов: x² − 3².
- Применяем a² − b² = (a − b)(a + b).
Ответ: (x − 3)(x + 3)
Типичные ошибки
- забывать удвоенное произведение
- складывать показатели при сложении
- сокращать слагаемые вместо множителей
Алгебра · подробный конспект
Формулы сокращённого умножения
Алгебраические выражения позволяют записывать общие закономерности и выполнять преобразования без подстановки конкретных чисел.
Многочлен — сумма одночленов. Подобные слагаемые имеют одинаковую буквенную часть и могут быть объединены.
Тождественные преобразования меняют форму записи, но не значение выражения при всех допустимых значениях переменных.
Формулы квадрата суммы, квадрата разности и разности квадратов следуют из раскрытия скобок. Их можно применять в обе стороны: раскрывать выражение или раскладывать многочлен на множители.
Перед выбором формулы нужно распознать её структуру целиком. В (a + b)² средний член равен 2ab, а a² − b² раскладывается в произведение (a − b)(a + b).
Почему это работает. Тождества сокращённого умножения получаются обычным раскрытием скобок, но записывают часто встречающиеся схемы короче. Теорема Безу связывает деление многочлена на x − a с простым вычислением его значения P(a).
Формула и обозначения
Как читать математическую запись
Квадрат суммы равен квадрату первого слагаемого плюс удвоенное произведение слагаемых плюс квадрат второго слагаемого.
Квадрат суммы — одна из основных формул сокращённого умножения.- P(x)
- многочлен от переменной x
- deg P
- наибольшая степень с ненулевым коэффициентом
- P(a) = 0
- число a является корнем многочлена
- x − a
- делитель многочлена, если a — его корень
Алгоритм
Как решать задачи этого типа
- определить структуру выражения
- раскрыть скобки или разложить на множители
- привести подобные слагаемые
Разбор по шагам
Два примера
Раскройте скобки: (x + 3)².
- Используем квадрат суммы a² + 2ab + b².
- Получаем x² + 2 · x · 3 + 9.
Ответ: x² + 6x + 9
Разложите x² − 9 на множители.
- Это разность квадратов: x² − 3².
- Применяем a² − b² = (a − b)(a + b).
Ответ: (x − 3)(x + 3)
Типичные ошибки
- забывать удвоенное произведение
- складывать показатели при сложении
- сокращать слагаемые вместо множителей
Алгебра · подробный конспект
Линейные уравнения и текстовые задачи
Линейные уравнения описывают зависимости с постоянной скоростью изменения и лежат в основе математического моделирования.
Линейное уравнение с одной переменной приводится к виду ax + b = 0; при a ≠ 0 оно имеет единственный корень.
Равносильные преобразования сохраняют множество решений: к обеим частям можно прибавить одно выражение или умножить их на одно ненулевое число.
Равносильные преобразования сохраняют множество корней: к обеим частям прибавляют одно выражение или делят их на одно ненулевое число. Деление на выражение с неизвестным требует отдельной проверки нуля.
В текстовой задаче переменной назначают конкретный смысл и единицу, затем каждую фразу переводят в связь величин. Найденный корень проверяют и в уравнении, и в исходном сюжете.
Почему это работает. Равносильные преобразования сохраняют одно и то же множество решений. Прибавление одинакового выражения к обеим частям сохраняет равенство, как сохраняется равновесие весов при одинаковом изменении обеих чаш.
Формула и обозначения
Как читать математическую запись
В уравнении ax плюс b равно нулю неизвестное x равно минус b, делённому на a, если a не равно нулю.
Корень линейного уравнения при a ≠ 0.- x
- неизвестная величина
- a
- коэффициент при неизвестной
- b
- свободный член
- x = −b/a
- решение при a ≠ 0
Алгоритм
Как решать задачи этого типа
- раскрыть скобки и привести подобные
- перенести неизвестные в одну часть
- разделить на коэффициент при переменной
Разбор по шагам
Два примера
Решите 3x − 7 = 11.
- Прибавим 7 к обеим частям: 3x = 18.
- Разделим обе части на 3.
Ответ: 6
Решите 4(2x − 1) = 3x + 11.
- Раскрываем скобки: 8x − 4 = 3x + 11.
- Переносим: 8x − 3x = 11 + 4.
- 5x = 15, значит x = 3.
Ответ: 3
Типичные ошибки
- переносить слагаемое без смены знака
- делить только одно слагаемое
- не проверять особый случай нулевого коэффициента
Алгебра · подробный конспект
Системы двух линейных уравнений
Линейные уравнения описывают зависимости с постоянной скоростью изменения и лежат в основе математического моделирования.
Линейное уравнение с одной переменной приводится к виду ax + b = 0; при a ≠ 0 оно имеет единственный корень.
Равносильные преобразования сохраняют множество решений: к обеим частям можно прибавить одно выражение или умножить их на одно ненулевое число.
Решение системы — пара чисел, одновременно удовлетворяющая обоим уравнениям. Геометрически это координаты общей точки двух прямых; параллельные прямые решений не имеют, совпадающие имеют бесконечно много.
Метод подстановки выражает одну переменную через другую, а метод сложения устраняет переменную подходящим сложением уравнений. Полученную пару обязательно подставляют в оба исходных равенства.
Почему это работает. Равносильные преобразования сохраняют одно и то же множество решений. Прибавление одинакового выражения к обеим частям сохраняет равенство, как сохраняется равновесие весов при одинаковом изменении обеих чаш.
Формула и обозначения
Как читать математическую запись
В уравнении ax плюс b равно нулю неизвестное x равно минус b, делённому на a, если a не равно нулю.
Корень линейного уравнения при a ≠ 0.- x
- неизвестная величина
- a
- коэффициент при неизвестной
- b
- свободный член
- x = −b/a
- решение при a ≠ 0
Алгоритм
Как решать задачи этого типа
- раскрыть скобки и привести подобные
- перенести неизвестные в одну часть
- разделить на коэффициент при переменной
Разбор по шагам
Два примера
Решите 3x − 7 = 11.
- Прибавим 7 к обеим частям: 3x = 18.
- Разделим обе части на 3.
Ответ: 6
Решите 4(2x − 1) = 3x + 11.
- Раскрываем скобки: 8x − 4 = 3x + 11.
- Переносим: 8x − 3x = 11 + 4.
- 5x = 15, значит x = 3.
Ответ: 3
Типичные ошибки
- переносить слагаемое без смены знака
- делить только одно слагаемое
- не проверять особый случай нулевого коэффициента
Алгебра · подробный конспект
Линейная функция и её график
Линейные уравнения описывают зависимости с постоянной скоростью изменения и лежат в основе математического моделирования.
Линейное уравнение с одной переменной приводится к виду ax + b = 0; при a ≠ 0 оно имеет единственный корень.
Равносильные преобразования сохраняют множество решений: к обеим частям можно прибавить одно выражение или умножить их на одно ненулевое число.
В функции y = kx + b коэффициент k задаёт изменение y при увеличении x на единицу, а b — точку пересечения с осью Oy. Для построения прямой достаточно двух различных точек.
Знак k определяет монотонность: при k > 0 функция возрастает, при k < 0 убывает. Нуль функции находят из kx + b = 0 и видят на графике как пересечение с осью Ox.
Почему это работает. Равносильные преобразования сохраняют одно и то же множество решений. Прибавление одинакового выражения к обеим частям сохраняет равенство, как сохраняется равновесие весов при одинаковом изменении обеих чаш.
Формула и обозначения
Как читать математическую запись
В уравнении ax плюс b равно нулю неизвестное x равно минус b, делённому на a, если a не равно нулю.
Корень линейного уравнения при a ≠ 0.- x
- неизвестная величина
- a
- коэффициент при неизвестной
- b
- свободный член
- x = −b/a
- решение при a ≠ 0
Алгоритм
Как решать задачи этого типа
- раскрыть скобки и привести подобные
- перенести неизвестные в одну часть
- разделить на коэффициент при переменной
Разбор по шагам
Два примера
Решите 3x − 7 = 11.
- Прибавим 7 к обеим частям: 3x = 18.
- Разделим обе части на 3.
Ответ: 6
Решите 4(2x − 1) = 3x + 11.
- Раскрываем скобки: 8x − 4 = 3x + 11.
- Переносим: 8x − 3x = 11 + 4.
- 5x = 15, значит x = 3.
Ответ: 3
Типичные ошибки
- переносить слагаемое без смены знака
- делить только одно слагаемое
- не проверять особый случай нулевого коэффициента
Закрепление материала
Мини-тест
Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.
Учебный маршрут
Все материалы по порядку
Используйте этот список как маршрут повторения: отдельная страница каждого урока содержит дополнительные задания, тренажёры или связи с соседними темами.
Первоисточники
Откуда взяты границы модуля
Уроки написаны Умбликом, а состав и последовательность тем сверены с федеральной рабочей программой. Порядок прохождения в конкретной школе может отличаться.