Треугольники и окружность
Первый год трёх параллельных математических курсов.
Результат модуля
Что вы научитесь делать
- Объяснять тему «углы и параллельные прямые», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
- Объяснять тему «признаки равенства», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
- Объяснять тему «построения и окружность», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
Модуль рассчитан не на беглое чтение, а на несколько занятий. Сначала разберите теорию и примеры, затем решите задания без подсказки и только после этого отметьте модуль изученным.
Подробная теория
Конспекты, формулы и разобранные задачи
Ниже собраны все опорные материалы модуля. Каждый конспект объясняет смысл правила, показывает алгоритм применения и разбирает задачу по шагам. Отдельные уроки остаются доступны для повторения и дополнительной практики.
Геометрия · подробный конспект
Основные геометрические фигуры и углы
Базовые фигуры и точные определения формируют язык, на котором записываются геометрические условия и доказательства.
Точка, прямая, луч, отрезок и угол являются исходными объектами планиметрии; смежные углы имеют общую сторону, а их другие стороны образуют прямую, вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых.
Вертикальные углы равны, сумма смежных углов равна 180°, а биссектриса делит угол на два равных угла.
Определения точки, прямой, отрезка, луча и угла задают язык доказательной геометрии. Вертикальные углы равны, а сумма смежных углов равна 180°.
На чертеже отдельно фиксируют данные и то, что требуется доказать. Равенство или взаимное расположение объектов обосновывают определением либо теоремой, а не измерением рисунка.
Почему это работает. Определения задают точные признаки фигур. Чертёж помогает увидеть отношения, но не доказывает их: точка не имеет размера, прямая не имеет концов, а отрезок ограничен двумя точками.
Формула и обозначения
Как читать математическую запись
Смежные углы в сумме дают сто восемьдесят градусов, а противоположные вертикальные углы при пересечении двух прямых равны.
Сумма смежных углов и равенство вертикальных углов.- A, B
- обозначения точек
- AB
- отрезок или его длина по контексту
- ∠ABC
- угол с вершиной B
- O, R
- центр и радиус окружности
Алгоритм
Как решать задачи этого типа
- выписать данные о принадлежности точек, лучах и углах
- распознать вертикальные, смежные углы или биссектрису по определению
- применить равенство либо сумму и обосновать каждый вывод
Разбор по шагам
Два примера
Один из вертикальных углов равен 64°. Найдите противоположный ему угол.
- Указанные углы вертикальные.
- Вертикальные углы равны, поэтому искомый угол равен 64°.
Ответ: 64°
Один из смежных углов равен 118°. Найдите второй.
- Сумма смежных углов равна 180°.
- 180° − 118° = 62°.
Ответ: 62°
Типичные ошибки
- считать прямую конечной
- путать луч и отрезок
- делать выводы только по масштабу рисунка
Геометрия · подробный конспект
Признаки равенства треугольников
Треугольник — базовая фигура доказательной геометрии: сложные конфигурации часто разбивают именно на треугольники.
Равные треугольники совмещаются движением, поэтому их соответствующие стороны и углы равны. Признаки позволяют доказать равенство по трём правильно расположенным парам элементов.
Достаточно равенства двух сторон и угла между ними, стороны и двух прилежащих к ней углов либо трёх сторон; соответствие вершин должно сохраняться в записи треугольников.
Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим углам либо по трём сторонам. Порядок вершин задаёт соответствие равных элементов.
Перед применением признака выписывают три нужные пары элементов и проверяют положение угла: для первого признака он должен лежать между указанными сторонами.
Почему это работает. Признаки равенства дают минимальный набор данных, достаточный для полного совпадения треугольников. После доказательства равенства можно переносить все соответствующие длины и углы с одного треугольника на другой.
Формула и обозначения
Как читать математическую запись
Если две стороны и заключённый между ними угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого, треугольники равны.
Первый признак равенства треугольников: две стороны и угол между ними.- △ABC
- треугольник с вершинами A, B, C
- AB = AC
- равнобедренный треугольник с основанием BC
- ∠A
- угол при вершине A
- △ABC = △A₁B₁C₁
- соответствующие треугольники равны
Алгоритм
Как решать задачи этого типа
- установить соответствие вершин двух треугольников
- найти три пары элементов, образующие один из признаков равенства
- назвать признак и перенести равенство на требуемые соответствующие элементы
Разбор по шагам
Два примера
В треугольниках ABC и DEF известно AB = DE, AC = DF и ∠A = ∠D. Докажите их равенство.
- Углы A и D заключены между указанными равными сторонами.
- Выполнен первый признак: две стороны и угол между ними.
Ответ: △ABC ≅ △DEF по первому признаку
Даны AB = DE, BC = EF и AC = DF. Какой признак применим?
- Попарно равны все три стороны треугольников.
- Это третий признак равенства.
Ответ: По трём сторонам
Типичные ошибки
- делать вывод о равенстве по рисунку
- использовать два угла как признак равенства
- забывать неравенство треугольника
Геометрия · подробный конспект
Равнобедренный и прямоугольный треугольники
Треугольник — базовая фигура доказательной геометрии: сложные конфигурации часто разбивают именно на треугольники.
Равнобедренный треугольник имеет две равные боковые стороны и основание, а прямоугольный — один угол 90°, два катета и гипотенузу напротив прямого угла.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а медиана к основанию является также высотой и биссектрисой; острые углы прямоугольного треугольника в сумме дают 90°.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а медиана к основанию одновременно является высотой и биссектрисой. В прямоугольном треугольнике сторона напротив угла 90° называется гипотенузой.
В задаче сначала определяют специальный вид треугольника, затем применяют только его свойства. Равенство двух углов даёт обратный признак равнобедренного треугольника.
Почему это работает. Признаки равенства дают минимальный набор данных, достаточный для полного совпадения треугольников. После доказательства равенства можно переносить все соответствующие длины и углы с одного треугольника на другой.
Формула и обозначения
Как читать математическую запись
Против равных сторон равнобедренного треугольника лежат равные углы. Два острых угла прямоугольного треугольника дополняют друг друга до девяноста градусов.
Свойство углов равнобедренного треугольника и сумма острых углов прямоугольного.- △ABC
- треугольник с вершинами A, B, C
- AB = AC
- равнобедренный треугольник с основанием BC
- ∠A
- угол при вершине A
- △ABC = △A₁B₁C₁
- соответствующие треугольники равны
Алгоритм
Как решать задачи этого типа
- определить специальный вид треугольника по данным сторонам или углам
- отметить основание и равные углы либо катеты и гипотенузу
- применить специальное свойство вместе с суммой углов треугольника
Разбор по шагам
Два примера
В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 40°. Найдите углы при основании.
- Углы при основании равны.
- Их сумма 180° − 40° = 140°, значит каждый равен 70°.
Ответ: 70° и 70°
Один острый угол прямоугольного треугольника равен 37°. Найдите другой.
- Острые углы в сумме дают 90°.
- 90° − 37° = 53°.
Ответ: 53°
Типичные ошибки
- делать вывод о равенстве по рисунку
- использовать два угла как признак равенства
- забывать неравенство треугольника
Геометрия · подробный конспект
Параллельные прямые и сумма углов треугольника
Треугольник — базовая фигура доказательной геометрии: сложные конфигурации часто разбивают именно на треугольники.
Треугольник задаётся тремя точками, не лежащими на одной прямой, и соединяющими их отрезками.
Сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°, а каждая сторона меньше суммы двух других.
При пересечении параллельных прямых секущей накрест лежащие и соответственные углы равны, а односторонние в сумме дают 180°. Эти связи доказывают сумму углов треугольника 180°.
Чтобы найти неизвестный угол, отмечают пару углов при секущей, переносят величину по признаку параллельности и только затем используют сумму углов треугольника или смежных углов.
Почему это работает. Признаки равенства дают минимальный набор данных, достаточный для полного совпадения треугольников. После доказательства равенства можно переносить все соответствующие длины и углы с одного треугольника на другой.
Формула и обозначения
Как читать математическую запись
Сумма трёх внутренних углов любого невырожденного треугольника равна ста восьмидесяти градусам.
Сумма углов треугольника.- △ABC
- треугольник с вершинами A, B, C
- AB = AC
- равнобедренный треугольник с основанием BC
- ∠A
- угол при вершине A
- △ABC = △A₁B₁C₁
- соответствующие треугольники равны
Алгоритм
Как решать задачи этого типа
- отметить равные элементы
- выбрать признак равенства или нужную теорему
- записать логическую цепочку до искомого
Разбор по шагам
Два примера
Два угла треугольника равны 50° и 60°. Найдите третий.
- Сумма углов равна 180°.
- 180° − 50° − 60° = 70°.
Ответ: 70°
В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 40°. Найдите углы при основании.
- Углы при основании равны.
- На них остаётся 180° − 40° = 140°.
- Каждый равен 140°/2.
Ответ: 70° и 70°
Типичные ошибки
- делать вывод о равенстве по рисунку
- использовать два угла как признак равенства
- забывать неравенство треугольника
Геометрия · подробный конспект
Геометрические места точек и построения
Построение и доказательство учат получать результат из явно сформулированных свойств, а не доверять внешнему виду рисунка.
Геометрическое место точек — множество всех точек, удовлетворяющих заданному условию.
Полное решение задачи на построение включает анализ, построение, доказательство и исследование числа решений.
Геометрическое место точек включает все и только те точки, которые удовлетворяют условию: например, равноудалённые от A и B точки образуют серединный перпендикуляр к AB.
Полное построение циркулем и линейкой содержит анализ, последовательность действий, доказательство правильности и исследование существования и числа решений.
Почему это работает. Построение циркулем и линейкой опирается на геометрические места точек. Пересечение двух таких множеств одновременно выполняет два условия задачи; доказательство подтверждает, что построены все и только нужные точки.
Формула и обозначения
Как читать математическую запись
Точка M равноудалена от A и B тогда и только тогда, когда она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB.
Геометрическое место точек, равноудалённых от концов отрезка.- ГМТ
- геометрическое место точек
- MA = MB
- M равноудалена от A и B
- ∠
- угол
- ⊥
- перпендикулярность
Алгоритм
Как решать задачи этого типа
- проанализировать свойства искомой фигуры
- выполнить построение разрешёнными инструментами
- доказать правильность и исследовать случаи
Разбор по шагам
Два примера
Где находятся точки, равноудалённые от A и B?
- Центр окружности через A и B должен иметь равные радиусы.
- Все такие центры образуют серединный перпендикуляр к AB.
Ответ: На серединном перпендикуляре к AB
Как построить точку, равноудалённую от A, B и C?
- Строим серединный перпендикуляр к AB.
- Строим серединный перпендикуляр к AC.
- Их пересечение равноудалено от трёх вершин.
Ответ: Центр описанной окружности треугольника ABC
Типичные ошибки
- считать аккуратный рисунок доказательством
- пропускать исследование существования
- использовать свойства, которые ещё не доказаны
Геометрия · подробный конспект
Окружность, хорда, касательная, вписанная и описанная окружности
Окружность объединяет точки, равноудалённые от центра, а её углы, хорды и касательные связаны строгими теоремами.
Хорда соединяет две точки окружности, касательная имеет с окружностью одну общую точку, описанная около треугольника окружность проходит через его вершины, а вписанная касается всех сторон.
Радиус перпендикулярен касательной в точке касания; центр описанной окружности — пересечение серединных перпендикуляров, центр вписанной — пересечение биссектрис.
Хорда соединяет две точки окружности, диаметр проходит через центр, а касательная имеет одну общую точку с окружностью и перпендикулярна проведённому в неё радиусу.
Центр описанной окружности треугольника находят как пересечение серединных перпендикуляров, центр вписанной — как пересечение биссектрис. Эти конструкции нельзя менять местами.
Почему это работает. Все точки окружности находятся на одном расстоянии от центра. Из равенства радиусов возникают равнобедренные треугольники, а из них — связи между центральными, вписанными углами, хордами и касательными.
Формула и обозначения
Как читать математическую запись
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Центр описанной окружности равноудалён от всех трёх вершин треугольника.
Перпендикулярность радиуса касательной и равенство радиусов описанной окружности.- R
- радиус окружности
- d = 2R
- диаметр
- L = 2πR
- длина окружности
- S = πR²
- площадь круга
Алгоритм
Как решать задачи этого типа
- определить, окружность вписана в треугольник или описана около него
- провести биссектрисы либо серединные перпендикуляры для нужного центра
- использовать равные радиусы и прямой угол в точке касания
Разбор по шагам
Два примера
Где находится центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника?
- Центр равноудалён от трёх вершин.
- В прямоугольном треугольнике такой точкой является середина гипотенузы.
Ответ: В середине гипотенузы
Радиус OT проведён в точку T касания. Чему равен угол между OT и касательной?
- Радиус в точку касания перпендикулярен касательной.
- Перпендикулярные прямые образуют угол 90°.
Ответ: 90°
Типичные ошибки
- путать радиус и диаметр
- использовать формулу площади вместо длины
- не видеть прямой угол в точке касания
Закрепление материала
Мини-тест
Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.
Учебный маршрут
Все материалы по порядку
Используйте этот список как маршрут повторения: отдельная страница каждого урока содержит дополнительные задания, тренажёры или связи с соседними темами.
Первоисточники
Откуда взяты границы модуля
Уроки написаны Умбликом, а состав и последовательность тем сверены с федеральной рабочей программой. Порядок прохождения в конкретной школе может отличаться.