УмбликМатематика
К маршруту 7 класса
Математика7 классБазовый курс 6 подробных конспектовНагрузка предмета в 7 классе: 204 ч, 6 ч/нед.: алгебра 102, геометрия 68, вероятность и статистика 3412 заданий и разборов

Данные и случайные события

Первый год трёх параллельных математических курсов.

Модуль школьной программы

Результат модуля

Что вы научитесь делать

  • Объяснять тему «таблицы и диаграммы», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
  • Объяснять тему «среднее, медиана и размах», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ
  • Объяснять тему «частота и вероятность», выбирать подходящий метод и проверять полученный ответ

Модуль рассчитан не на беглое чтение, а на несколько занятий. Сначала разберите теорию и примеры, затем решите задания без подсказки и только после этого отметьте модуль изученным.

Подробная теория

Конспекты, формулы и разобранные задачи

Ниже собраны все опорные материалы модуля. Каждый конспект объясняет смысл правила, показывает алгоритм применения и разбирает задачу по шагам. Отдельные уроки остаются доступны для повторения и дополнительной практики.

1

Вероятность и статистика · конспект

Таблицы данных

Читаем строки и столбцы, проверяем итог и превращаем записи в понятное сравнение.

Простыми словами

Здесь разбирается математический инструмент, который понадобится дальше. Сначала поймите смысл действия на простом числе или рисунке, а затем переходите к буквенной записи.

Опорные записи

Формулы и условия применения

n=n1+n2+⋯+nkn=n_1+n_2+\cdots+n_k

Число наблюдений равно сумме частот непересекающихся категорий, охватывающих все наблюдения.

fi=nin,n>0f_i=\frac{n_i}{n},\qquad n>0

Доля категории — её частота, делённая на общий объём данных.

Алгоритм

Как перейти от условия к ответу

  1. Определите, что обозначает каждая буква, приведите величины к одному виду и выполняйте действия по порядку.
  2. Запишите промежуточные величины и выполните вычисления по шагам, не меняя смысл события или статистического показателя.
  3. Выполните обратное действие и убедитесь, что получили исходные данные.

Разобранный пример

В таблице выдачи книг указано: понедельник — 7 книг, вторник — 9, среда — 4. Сколько книг выдали за эти три дня?

Простой уровень

Подсказка: Каждая строка относится к отдельному дню, поэтому количества можно сложить.

  1. В таблице три непересекающихся по времени группы записей.
  2. Сумма выдач: 7 + 9 + 4 = 20 книг.

Ответ: 20

Что проверить перед ответом

  • Не начинайте вычисления, пока не определили смысл величин в теме «Таблицы данных».
  • Не применяйте формулу без проверки её условий: Определите, что обозначает каждая буква, приведите величины к одному виду и выполняйте действия по порядку.
  • После вычисления выполните смысловую проверку: Выполните обратное действие и убедитесь, что получили исходные данные.
Попробуйте самостоятельно

15 учеников указали ровно один способ добраться до школы: пешком — 6, автобусом — 5, на автомобиле — 4. Какую долю составляют приехавшие автобусом?

Сначала решите без подсказки. После этого раскройте пошаговый разбор и сопоставьте переходы со своей записью.

Показать подсказку и решение

Выберите нужную строку и разделите её частоту на общий итог, а не на число строк.

  1. Общий итог: 6 + 5 + 4 = 15 учеников.
  2. Автобусом приехали 5 человек.
  3. Их доля: 5/15 = 1/3.

Ответ: 1/3

Полная статья и три уровня задач

2

Вероятность и статистика · конспект

Среднее арифметическое

Находим значение равномерного распределения суммы и понимаем, когда среднее вводит в заблуждение.

Простыми словами

Статистика сжимает набор наблюдений до нескольких понятных характеристик. Среднее описывает общий уровень, показатели разброса — насколько сильно значения отличаются друг от друга.

Опорные записи

Формулы и условия применения

x‾=x1+x2+⋯+xnn,n≥1\overline x=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n},\qquad n\ge1

Складываем все наблюдения и делим на их количество, учитывая повторы.

x‾=n1x‾1+n2x‾2n1+n2\overline x=\frac{n_1\overline x_1+n_2\overline x_2}{n_1+n_2}

Средние двух групп объединяем с учётом численности каждой группы.

Алгоритм

Как перейти от условия к ответу

  1. Уточните объём набора, единицы измерения и вид характеристики; не смешивайте сумму значений, среднее и отклонения от среднего.
  2. Запишите промежуточные величины и выполните вычисления по шагам, не меняя смысл события или статистического показателя.
  3. Сравните результат с минимумом, максимумом и масштабом данных; характеристика должна иметь правильные единицы.

Разобранный пример

Найдите среднее арифметическое чисел 3, 8 и 10.

Простой уровень

Подсказка: Сложите три числа и разделите сумму на три.

  1. Сумма значений: 3 + 8 + 10 = 21.
  2. Количество наблюдений — 3, среднее 21/3 = 7.

Ответ: 7

Что проверить перед ответом

  • Не начинайте вычисления, пока не определили смысл величин в теме «Среднее арифметическое».
  • Не применяйте формулу без проверки её условий: Уточните объём набора, единицы измерения и вид характеристики; не смешивайте сумму значений, среднее и отклонения от среднего.
  • После вычисления выполните смысловую проверку: Сравните результат с минимумом, максимумом и масштабом данных; характеристика должна иметь правильные единицы.
Попробуйте самостоятельно

Среднее пяти чисел равно 12. Четыре из них — 10, 9, 14 и 8. Найдите пятое число.

Сначала решите без подсказки. После этого раскройте пошаговый разбор и сопоставьте переходы со своей записью.

Показать подсказку и решение

Восстановите общую сумму по среднему и количеству чисел.

  1. Сумма пяти чисел равна 5 × 12 = 60.
  2. Сумма известных четырёх: 10 + 9 + 14 + 8 = 41.
  3. Пятое число: 60 − 41 = 19.

Ответ: 19

Полная статья и три уровня задач

3

Вероятность и статистика · конспект

Медиана

Ищем середину упорядоченного набора и сравниваем её со средним арифметическим.

Простыми словами

Статистика сжимает набор наблюдений до нескольких понятных характеристик. Среднее описывает общий уровень, показатели разброса — насколько сильно значения отличаются друг от друга.

Опорные записи

Формулы и условия применения

med⁡=x(m+1),n=2m+1\operatorname{med}=x_{(m+1)},\qquad n=2m+1

Для нечётного количества берём центральное значение отсортированного набора.

med⁡=x(m)+x(m+1)2,n=2m\operatorname{med}=\frac{x_{(m)}+x_{(m+1)}}2,\qquad n=2m

Для чётного количества используем школьное соглашение — среднее двух центральных значений.

Алгоритм

Как перейти от условия к ответу

  1. Уточните объём набора, единицы измерения и вид характеристики; не смешивайте сумму значений, среднее и отклонения от среднего.
  2. Запишите промежуточные величины и выполните вычисления по шагам, не меняя смысл события или статистического показателя.
  3. Сравните результат с минимумом, максимумом и масштабом данных; характеристика должна иметь правильные единицы.

Разобранный пример

Найдите медиану набора 6, 2, 9, 4, 7.

Простой уровень

Подсказка: Сначала отсортируйте все пять значений.

  1. Упорядоченный набор: 2, 4, 6, 7, 9.
  2. При пяти наблюдениях центральная позиция третья.
  3. Медиана равна 6.

Ответ: 6

Что проверить перед ответом

  • Не начинайте вычисления, пока не определили смысл величин в теме «Медиана».
  • Не применяйте формулу без проверки её условий: Уточните объём набора, единицы измерения и вид характеристики; не смешивайте сумму значений, среднее и отклонения от среднего.
  • После вычисления выполните смысловую проверку: Сравните результат с минимумом, максимумом и масштабом данных; характеристика должна иметь правильные единицы.
Попробуйте самостоятельно

Найдите медиану набора 11, 2, 8, 4. Для чётного количества используйте среднее двух центральных значений.

Сначала решите без подсказки. После этого раскройте пошаговый разбор и сопоставьте переходы со своей записью.

Показать подсказку и решение

После сортировки выберите второе и третье значения.

  1. Сортируем: 2, 4, 8, 11.
  2. Два центральных значения — 4 и 8.
  3. Медиана: (4 + 8)/2 = 6.

Ответ: 6

Полная статья и три уровня задач

4

Вероятность и статистика · конспект

Минимум, максимум и размах

Описываем крайние значения и ширину разброса, не теряя единицы и ограничения показателя.

Простыми словами

Статистика сжимает набор наблюдений до нескольких понятных характеристик. Среднее описывает общий уровень, показатели разброса — насколько сильно значения отличаются друг от друга.

Опорные записи

Формулы и условия применения

R=xmax⁡−xmin⁡,R≥0R=x_{\max}-x_{\min},\qquad R\ge0

Размах непустого набора — разность наибольшего и наименьшего значений.

R(cx1,…,cxn)=∣c∣R(x1,…,xn)R(cx_1,\ldots,cx_n)=|c|R(x_1,\ldots,x_n)

При умножении всех значений на c размах умножается на модуль c.

Алгоритм

Как перейти от условия к ответу

  1. Уточните объём набора, единицы измерения и вид характеристики; не смешивайте сумму значений, среднее и отклонения от среднего.
  2. Запишите промежуточные величины и выполните вычисления по шагам, не меняя смысл события или статистического показателя.
  3. Сравните результат с минимумом, максимумом и масштабом данных; характеристика должна иметь правильные единицы.

Разобранный пример

Найдите размах набора 3, 10, 7, 5.

Простой уровень

Подсказка: Из самого большого значения вычтите самое маленькое.

  1. Максимум — 10, минимум — 3.
  2. Размах: 10 − 3 = 7.

Ответ: 7

Что проверить перед ответом

  • Не начинайте вычисления, пока не определили смысл величин в теме «Минимум, максимум и размах».
  • Не применяйте формулу без проверки её условий: Уточните объём набора, единицы измерения и вид характеристики; не смешивайте сумму значений, среднее и отклонения от среднего.
  • После вычисления выполните смысловую проверку: Сравните результат с минимумом, максимумом и масштабом данных; характеристика должна иметь правильные единицы.
Попробуйте самостоятельно

Измерены температуры −8, −4, 1 и 6 градусов. Чему равен размах температур? Введите число градусов.

Сначала решите без подсказки. После этого раскройте пошаговый разбор и сопоставьте переходы со своей записью.

Показать подсказку и решение

Минимум отрицательный. Сохраните скобки при его вычитании.

  1. Наибольшее значение — 6, наименьшее — −8.
  2. Размах: 6 − (−8) = 6 + 8 = 14 градусов.

Ответ: 14

Полная статья и три уровня задач

5

Вероятность и статистика · конспект

Частота события

Различаем количество успехов, их долю в наблюдениях и вероятность в математической модели.

Простыми словами

Вероятность — это число от нуля до единицы, показывающее, насколько возможным считается событие в выбранной модели. Сначала всегда описывают опыт и его исходы, и лишь затем считают.

Опорные записи

Формулы и условия применения

νn(A)=mn(A)n,n≥1\nu_n(A)=\frac{m_n(A)}{n},\qquad n\ge1

Относительная частота — число наблюдавшихся успехов, делённое на число испытаний.

νn1+n2=n1νn1+n2νn2n1+n2\nu_{n_1+n_2}=\frac{n_1\nu_{n_1}+n_2\nu_{n_2}}{n_1+n_2}

Частоты двух серий объединяем с весами, равными размерам серий.

Алгоритм

Как перейти от условия к ответу

  1. Назовите событие, определите пространство исходов и проверьте предположения модели: конечность, равновозможность или известные вероятности.
  2. Запишите промежуточные величины и выполните вычисления по шагам, не меняя смысл события или статистического показателя.
  3. Вероятность не может быть меньше нуля или больше единицы; крайние значения должны иметь понятный смысл.

Разобранный пример

В 50 бросках монеты выпало 28 орлов. Чему равна относительная частота орла?

Простой уровень

Подсказка: Разделите число орлов на число всех бросков.

  1. Абсолютная частота — 28.
  2. Относительная частота: 28/50 = 0,56.

Ответ: 0,56

Что проверить перед ответом

  • Не начинайте вычисления, пока не определили смысл величин в теме «Частота и вероятность».
  • Не применяйте формулу без проверки её условий: Назовите событие, определите пространство исходов и проверьте предположения модели: конечность, равновозможность или известные вероятности.
  • После вычисления выполните смысловую проверку: Вероятность не может быть меньше нуля или больше единицы; крайние значения должны иметь понятный смысл.
Попробуйте самостоятельно

В первой серии было 8 успехов из 10, во второй — 36 из 90. Найдите относительную частоту успеха в объединённой серии.

Сначала решите без подсказки. После этого раскройте пошаговый разбор и сопоставьте переходы со своей записью.

Показать подсказку и решение

Складывайте числа успехов и испытаний, а не просто усредняйте проценты.

  1. Всего успехов: 8 + 36 = 44.
  2. Всего испытаний: 10 + 90 = 100.
  3. Общая частота: 44/100 = 0,44.

Ответ: 0,44

Полная статья и три уровня задач

6

Вероятность и статистика · конспект

Вероятность события

Читаем шкалу от нуля до единицы и проверяем согласованность вероятностной модели.

Простыми словами

Вероятность — это число от нуля до единицы, показывающее, насколько возможным считается событие в выбранной модели. Сначала всегда описывают опыт и его исходы, и лишь затем считают.

Опорные записи

Формулы и условия применения

0≤P(A)≤1,P(Ω)=10\le P(A)\le1,\qquad P(\Omega)=1

Вероятность — нормированная неотрицательная мера событий.

A∩B=∅ ⇒ P(A∪B)=P(A)+P(B)A\cap B=\varnothing\ \Rightarrow\ P(A\cup B)=P(A)+P(B)

Вероятности несовместимых событий складываются.

Алгоритм

Как перейти от условия к ответу

  1. Назовите событие, определите пространство исходов и проверьте предположения модели: конечность, равновозможность или известные вероятности.
  2. Запишите промежуточные величины и выполните вычисления по шагам, не меняя смысл события или статистического показателя.
  3. Вероятность не может быть меньше нуля или больше единицы; крайние значения должны иметь понятный смысл.

Разобранный пример

Переведите вероятность 0,07 в проценты. Ответ со знаком %.

Простой уровень

Подсказка: Умножьте долю на 100.

  1. 0,07×100=7.
  2. Получаем 7%.

Ответ: 7%

Что проверить перед ответом

  • Не начинайте вычисления, пока не определили смысл величин в теме «Вероятность: смысл и основные свойства».
  • Не применяйте формулу без проверки её условий: Назовите событие, определите пространство исходов и проверьте предположения модели: конечность, равновозможность или известные вероятности.
  • После вычисления выполните смысловую проверку: Вероятность не может быть меньше нуля или больше единицы; крайние значения должны иметь понятный смысл.
Попробуйте самостоятельно

В опыте ровно три возможных исхода с вероятностями 0,15; 0,35; p. Найдите p.

Сначала решите без подсказки. После этого раскройте пошаговый разбор и сопоставьте переходы со своей записью.

Показать подсказку и решение

Все исходы вместе дают достоверное событие.

  1. p=1−0,15−0,35.
  2. p=0,5.

Ответ: 0,5

Полная статья и три уровня задач

Учебный маршрут

Все материалы по порядку

Используйте этот список как маршрут повторения: отдельная страница каждого урока содержит дополнительные задания, тренажёры или связи с соседними темами.

Шаг 1 · МаршрутВероятность и статистика · 7 классШаг 2 · УрокТаблицы данныхШаг 3 · УрокСреднее арифметическоеШаг 4 · УрокМедианаШаг 5 · УрокМинимум, максимум и размахШаг 6 · УрокЧастота событияШаг 7 · УрокВероятность события

Первоисточники

Откуда взяты границы модуля

Уроки написаны Умбликом, а состав и последовательность тем сверены с федеральной рабочей программой. Порядок прохождения в конкретной школе может отличаться.