Обыкновенные и десятичные дроби · 5 класс

$Умблик показывает математические модели на доске$

Посмотрите на идеюОбыкновенные и десятичные дроби

На рисунке правило превращается в модель: отметьте известные элементы, связь между ними и только затем переходите к буквенной записи.

Главная идея

Что нужно понять

Дробь a/b при b > 0 обозначает a долей единицы, разделённой на b равных частей, и результат деления a на b. В десятичной дроби разряды после запятой обозначают десятые, сотые, тысячные и следующие доли единицы.

При умножении числителя и знаменателя на одно и то же натуральное число или сокращении на их общий делитель значение дроби не меняется. Для сложения обыкновенных дробей нужен общий знаменатель. Десятичные дроби складывают и вычитают по разрядам, располагая запятые друг под другом. При умножении сначала умножают без запятых, затем отделяют справа столько знаков, сколько их было после запятых в обоих множителях вместе. При делении на десятичную дробь запятые в делимом и делителе сдвигают на одинаковое число разрядов, чтобы делитель стал целым; на ноль делить нельзя.

Обыкновенная дробь задаёт число долей единицы, а десятичная дробь использует доли со знаменателями 10, 100, 1000 и так далее. Для перевода нужно привести знаменатель к степени десяти либо выполнить деление.

При сложении обыкновенных дробей части сначала делают одинаковыми с помощью общего знаменателя. В десятичной записи разряды выравнивают по запятой, чтобы складывать одноимённые доли.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Записи 3/4, 75/100 и 0,75 задают одно число. Нули в конце десятичной записи не меняют число: 0,750 = 0,75, но внутренний ноль пропускать нельзя. Не всякая обыкновенная дробь имеет конечную десятичную запись: 1/3 не равно 0,3. Сотые доли также объясняют верные вычисления 200 · 0,15 = 30 и 240 · 0,15 = 36: 0,15 означает 15/100.

Схема к теме

Алгоритм: Обыкновенные и десятичные дроби

1. Определить, — как записаны дроби и какое действие требуется
2. Для перевода — найти равную дробь со знаменателем 10, 100 или 1000 либо выполнить деление; для действия согласовать разряды или знаменатели
3. Выполнить — вычисление и проверить его обратным действием или оценкой

Шаги расположены в том порядке, в котором их нужно выполнять. Вывод: При умножении числителя и знаменателя на одно и то же натуральное число или сокращении на их общий делитель значение дроби не меняется. Для сложения обыкновенных дробей нужен общий знаменатель. Десятичные дроби складывают и вычитают по разрядам, располагая запятые друг под другом. При умножении сначала умножают без запятых, затем отделяют справа столько знаков, сколько их было после запятых в обоих множителях вместе. При делении на десятичную дробь запятые в делимом и делителе сдвигают на одинаковое число разрядов, чтобы делитель стал целым; на ноль делить нельзя.

Опорная формула

\frac34=\frac{75}{100}=0{,}75;\qquad 2{,}35+1{,}8=4{,}15

Формула словами

Три четверти равны семидесяти пяти сотым. Чтобы сложить две целых тридцать пять сотых и одну целую восемь десятых, записываем второе число как одну целую восемьдесят сотых и получаем четыре целых пятнадцать сотых.

Равные записи одной дроби и сложение десятичных дробей по разрядам.

Расшифровка

Обозначения и термины

a/b: a — числитель, b — положительный знаменатель
0,1; 0,01; 0,001: одна десятая, одна сотая и одна тысячная
0,75: 75/100, то есть три четверти

Алгоритм

Как решать задачи

определить, как записаны дроби и какое действие требуется
для перевода найти равную дробь со знаменателем 10, 100 или 1000 либо выполнить деление; для действия согласовать разряды или знаменатели
выполнить вычисление и проверить его обратным действием или оценкой

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Вычислите 3 : 4 и запишите результат десятичной дробью.

Чтобы получить знаменатель 100, умножаем 4 на 25.
Числитель умножаем на то же число: 3 · 25 = 75.
3/4 = 75/100 = 0,75. Проверка: 0,75 · 4 = 3.

Ответ: 0,75

Пример 2

Вычислите 2,35 + 1,8.

Дописываем ноль, не меняя второго числа: 1,8 = 1,80.
Складываем одноимённые разряды: 2,35 + 1,80 = 4,15.
Проверяем вычитанием: 4,15 − 1,80 = 2,35.

Ответ: 4,15

Самопроверка

Типичные ошибки

менять только числитель или только знаменатель при переходе к равной дроби
выравнивать последние цифры вместо запятых при сложении
считать 1/3 равным конечной дроби 0,3
сдвигать запятую только в делителе, не меняя делимое

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Представьте, что вы объясняете тему «Обыкновенные и десятичные дроби» ученику младше вас. Расскажите, что означает правило, почему оно работает и как не допустить первую типичную ошибку: менять только числитель или только знаменатель при переходе к равной дроби

В хорошем объяснении есть:

Вы объяснили главную идею без дословного пересказа: Дробь a/b при b > 0 обозначает a долей единицы, разделённой на b равных частей, и результат деления a на b. В десятичной дроби разряды после запятой обозначают десятые, сотые, тысячные и следующие доли единицы.
Вы расшифровали математическую запись словами: Три четверти равны семидесяти пяти сотым. Чтобы сложить две целых тридцать пять сотых и одну целую восемь десятых, записываем второе число как одну целую восемьдесят сотых и получаем четыре целых пятнадцать сотых.
Вы придумали собственный пример, выполнили алгоритм и проверили, соответствует ли ответ условию.

Закрепление материала

Мини-тест

Выберите ответ на каждый вопрос. Объяснения откроются после проверки.

Открываем мини-тест…