Делители, кратные и признаки делимости · 5 класс

$Умблик показывает математические модели на доске$

Посмотрите на идеюДелители, кратные и признаки делимости

На рисунке правило превращается в модель: отметьте известные элементы, связь между ними и только затем переходите к буквенной записи.

Главная идея

Что нужно понять

Число a делится на b, если существует целое k такое, что a = bk. НОД делит оба числа, а НОК кратно каждому из них.

Разложение на простые множители позволяет находить НОД по общим множителям, а НОК — по всем множителям с наибольшими степенями.

Делитель разбивает число на целое количество равных групп, а кратное содержит заданное число целое количество раз. Признаки делимости позволяют установить это по записи числа без полного деления.

Разложение на простые множители показывает внутреннюю структуру числа. Из него НОД собирают по общим множителям с меньшими степенями, а НОК — по всем встречающимся множителям с большими степенями.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Деление с остатком единственным образом представляет число как несколько полных групп и остаток. Алгоритм Евклида работает потому, что общие делители чисел a и b совпадают с общими делителями b и остатка a mod b.

Схема к теме

Алгоритм: Делители, кратные и признаки делимости

Число a делится на b, если существует целое k такое, что a = bk. НОД делит оба числа, а НОК кратно каждому из них.

1. Разложить — числа на простые множители
2. Выбрать нужные — степени множителей
3. Проверить — делением

Шаги расположены в том порядке, в котором их нужно выполнять. Вывод: Разложение на простые множители позволяет находить НОД по общим множителям, а НОК — по всем множителям с наибольшими степенями.

Опорная формула

a=bq+r,\qquad 0\le r<b

Формула словами

При делении a на b число a равно b, умноженному на неполное частное q, плюс остаток r; остаток неотрицателен и меньше b.

Теорема о делении с остатком.

Расшифровка

Обозначения и термины

a = bq + r: деление a на b с неполным частным q
0 ≤ r < b: условие на остаток
НОД(a, b): наибольший общий делитель
НОК(a, b): наименьшее общее кратное

Алгоритм

Как решать задачи

разложить числа на простые множители
выбрать нужные степени множителей
проверить делением

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Найдите НОД чисел 18 и 24.

18 = 2 · 3², 24 = 2³ · 3.
Берём общие множители с меньшими степенями: 2 · 3.

Ответ: 6

Пример 2

Найдите НОД(84, 30) алгоритмом Евклида.

84 = 30 · 2 + 24.
30 = 24 · 1 + 6.
24 = 6 · 4, последний ненулевой остаток равен 6.

Ответ: 6

Самопроверка

Типичные ошибки

путать НОД и НОК
считать единицу простым числом
допускать остаток, не меньший делителя

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Представьте, что вы объясняете тему «Делители, кратные и признаки делимости» ученику младше вас. Расскажите, что означает правило, почему оно работает и как не допустить первую типичную ошибку: путать НОД и НОК

В хорошем объяснении есть:

Вы объяснили главную идею без дословного пересказа: Число a делится на b, если существует целое k такое, что a = bk. НОД делит оба числа, а НОК кратно каждому из них.
Вы расшифровали математическую запись словами: При делении a на b число a равно b, умноженному на неполное частное q, плюс остаток r; остаток неотрицателен и меньше b.
Вы придумали собственный пример, выполнили алгоритм и проверили, соответствует ли ответ условию.

Закрепление материала

Мини-тест

Выберите ответ на каждый вопрос. Объяснения откроются после проверки.

Открываем мини-тест…