Вероятность и статистика · Правила вероятности

Сложение вероятностей

Находим вероятность «A или B», вычитая повторно учтённое пересечение.

8 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Правило нужно для задач о нескольких подходящих признаках: например, карта может быть и пиковой, и тузом. Оно помогает посчитать вероятность хотя бы одного признака и сразу проверить согласованность исходных данных.

Главная идея. Когда событие описано словами «A или B», вероятности нельзя всегда просто сложить: исходы, принадлежащие одновременно A и B, попадут в сумму дважды. Формула объединения один раз вычитает эту общую часть.

План рассуждения и проверка понимания

Переведите слово «или» в объединение A ∪ B и выясните, допускает ли условие одновременное выполнение двух событий.
Найдите P(A), P(B) и отдельно P(A ∩ B); не заменяйте пересечение произведением без доказанной независимости.
Вычислите P(A) + P(B) − P(A ∩ B), а для несовместимых событий явно подставьте вероятность пересечения, равную нулю.
Проверьте, что результат не меньше каждой отдельной вероятности, не больше единицы и соответствует смыслу объединения.

Частая ошибка. Сложить P(A) и P(B) без поправки, хотя события совместимы, например посчитать пикового туза один раз среди пиков и второй раз среди тузов.

Как проверить себя. Сначала выпишите общие исходы или найдите P(A ∩ B), затем вычтите их вероятность один раз; простая сумма допустима только при пустом пересечении.

Схема к теме

Наглядная модель: Сложение вероятностей

Находим вероятность «A или B», вычитая повторно учтённое пересечение.

Сложение вероятностей → сложение вероятностей
Сложение вероятностей → объединение
Сложение вероятностей → пересечение
Сложение вероятностей → несовместимость
Сложение вероятностей → двойной счёт

Схема связывает понятие «Сложение вероятностей» с его ключевыми признаками. Вывод: Свяжите определение, условия и обозначения: тогда формула станет краткой записью уже понятной идеи.

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Объясните на примере событий «чётное» и «больше трёх» при броске кубика, почему сумма 1/2 + 1/2 завышает ответ и откуда получается 2/3.

В хорошем объяснении есть:

Названы общие исходы 4 и 6 и объяснено, почему при сложении они учитываются дважды.
Использована формула объединения с вычитанием 2/6, а итог проверен по явному списку {2, 4, 5, 6}.

Почему простая сумма не всегда подходит

Ищем вероятность хотя бы одного из событий $A$ и $B$ . Если сложить $P(A)$ и $P(B)$ , исходы общей части будут учтены дважды. Вычитание $P(A\cap B)$ оставляет их один раз и даёт вероятность объединения.

Правило не требует независимости или равновозможных исходов. Оно относится к любым двум событиям одной вероятностной модели. Но для численного расчёта нужны достаточные данные: две отдельные вероятности обычно не определяют их пересечение.

Несовместимый случай

Если события не могут произойти вместе, пересечение пусто и имеет вероятность ноль. Тогда вероятности складываются напрямую. При одном броске кубика «выпала единица» и «выпала пятёрка» несовместимы, поэтому вероятность одного из этих исходов $1/6+1/6=1/3$ .

События «чётное число» и «число больше трёх» совместимы. Для честного кубика сумма $1/2+1/2=1$ завышает ответ: числа $4$ и $6$ попали в неё дважды. Вычитаем $2/6$ и получаем $2/3$ .

Данные должны быть согласованы

Пересечение не может быть больше ни одного из событий. С другой стороны, сумма вероятностей минус пересечение не должна превышать $1$ . Например, при $P(A)=0{,}8$ и $P(B)=0{,}7$ общая часть не может быть меньше $0{,}5$ .

Если известно только $P(A)=0{,}4$ и $P(B)=0{,}3$ , вероятность объединения может лежать от $0{,}4$ до $0{,}7$ . Нижняя граница соответствует включению меньшего события в большее, верхняя — несовместимости. Выбрать одно число без дополнительного условия нельзя.

Не заменяйте пересечение произведением вероятностей автоматически. Такое произведение допустимо при независимости; при зависимости нужна условная вероятность или непосредственный подсчёт общей части.

Три примера

Вероятности двух несовместимых исходов равны $0{,}2$ и $0{,}35$ . Вероятность одного из них $0{,}55$ .
Известно $P(A)=0{,}6$ , $P(B)=0{,}5$ , $P(A\cap B)=0{,}3$ . Объединение имеет вероятность $0{,}6+0{,}5-0{,}3=0{,}8$ .
В стандартной колоде $52$ карты. При равномерном выборе вероятность «пиковая или туз» равна $(13+4-1)/52=16/52=4/13$ : пиковый туз нужно посчитать один раз.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

Формула словами: Общее правило для двух событий в одной вероятностной модели.

A\cap B=\varnothing\quad\Longrightarrow\quad P(A\cup B)=P(A)+P(B)

Формула словами: Для несовместимых событий общая часть пуста, поэтому вычитать нечего.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Лаборатория: Диаграмма Венна Лаборатория: Карточная колода Вероятность события

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.