Вероятность и статистика · События

Полная группа событий

Разбиваем пространство на непересекающиеся случаи для формулы полной вероятности.

6 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Такое разбиение позволяет считать вероятность события по разным источникам или ветвям, выводит формулу полной вероятности и готовит знаменатель для формулы Байеса.

Главная идея. Полная группа событий разбивает пространство исходов на случаи, которые попарно не пересекаются и вместе покрывают всё пространство. Поэтому в каждом испытании реализуется ровно один из этих случаев.

План рассуждения и проверка понимания

Сформулируйте случаи H₁, …, Hₘ в одном пространстве и проверьте попарную пустоту пересечений, а не только общего пересечения всех сразу.
Проверьте покрытие: объединение случаев должно включать каждый допустимый исход, в том числе граничные значения.
Убедитесь, что вероятности частей дают единицу; нулевые части обрабатывайте без деления на их вероятность.
Разложите событие A на непересекающиеся части A ∩ Hᵢ и сложите их вероятности или выражения P(Hᵢ)P(A | Hᵢ).

Частая ошибка. Назвать события «меньше трёх» и «больше трёх» полной группой для кубика, проверив только несовместимость и пропустив исход 3.

Как проверить себя. Проверяйте второе условие отдельно: объединение должно равняться всему Ω; добавьте случай «равно трём» или измените одну границу так, чтобы покрыть исход 3.

Схема к теме

Наглядная модель: Полная группа событий

Разбиваем пространство на непересекающиеся случаи для формулы полной вероятности.

Полная группа событий → полная группа
Полная группа событий → разбиение
Полная группа событий → гипотезы
Полная группа событий → полная вероятность

Схема связывает понятие «Полная группа событий» с его ключевыми признаками. Вывод: Свяжите определение, условия и обозначения: тогда формула станет краткой записью уже понятной идеи.

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Объясните, почему происхождение детали от трёх станков с долями 20%, 30% и 50% образует полную группу и как по ней раскладывается событие «дефект».

В хорошем объяснении есть:

Одна деталь изготовлена ровно одним станком, поэтому события происхождения попарно несовместимы.
Доли дают 100%, а дефект разложен на три части: дефект от первого, второго и третьего станка.

Каждый исход имеет свой случай

Полная группа событий — разбиение пространства на случаи, которые не пересекаются и вместе охватывают все исходы. При выполнении опыта происходит ровно один из случаев. Например, номер выпавшей грани кубика можно разделить на три группы: $\{1,2\}$ , $\{3,4\}$ , $\{5,6\}$ .

Название «гипотезы» часто используется, когда случаи описывают источник наблюдения: изделие изготовлено первым, вторым или третьим станком. Это не означает, что требуется предположить независимость источников: в одном выборе как раз реализуется один источник.

Проверка двух условий

Отсутствие пересечений недостаточно: случай мог не попасть ни в одну группу. Покрытие пространства также недостаточно: один исход мог оказаться сразу в нескольких группах. Для корректного разбиения проверяют оба свойства отдельно.

В конечной модели с положительными весами сумма вероятностей один вместе с несовместимостью гарантирует полноту с точки зрения вероятности. В общей модели непокрытые события нулевой вероятности требуют различать строгое покрытие и покрытие почти наверное.

Для чего нужна группа

Событие $A$ раскладывается на несовместимые части $A\cap H_i$ . Их вероятности можно сложить. Если $P(H_i)>0$ , каждую часть представляют как $P(H_i)P(A\mid H_i)$ . Так возникает формула полной вероятности, а затем формула Байеса.

Нулевые по вероятности части не требуют деления на ноль: их вклад в итог нулевой. При задании дерева нельзя назначать отдельной ветви условную вероятность относительно невозможного условия без пояснения.

Три примера

«Чётное» и «нечётное» для кубика образуют полную группу из двух событий с вероятностями $1/2$ .
«Меньше трёх» и «больше трёх» не образуют полную группу: исход $3$ пропущен.
Три станка дают $20\%$ , $30\%$ и $50\%$ продукции. При выборе одного изделия события происхождения образуют полную группу; суммы долей равны $1$ , а источники не пересекаются.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

H_i\cap H_j=\varnothing\ (i\ne j),\qquad\bigcup_{i=1}^mH_i=\Omega

Формула словами: Полная группа состоит из попарно несовместимых событий и охватывает всё пространство.

\sum_{i=1}^{m}P(H_i)=1

Формула словами: Вероятности частей полной группы в сумме дают единицу.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Лаборатория: Дерево вероятностей Лаборатория: Диаграмма Венна

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.