Вероятность и статистика · Основы вероятности

Геометрическая вероятность

При равномерном выборе точки сравниваем длины, площади или объёмы.

6 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Этот подход нужен, когда возможных точек бесконечно много и пересчитать их нельзя: он позволяет находить вероятности попадания в интервалы и фигуры, а также понимать, почему отдельная точка или линия может иметь вероятность ноль.

Главная идея. Геометрическая вероятность заменяет подсчёт отдельных исходов сравнением мер: длины на отрезке, площади на плоскости или объёма в пространстве. При равномерном выборе шанс области A равен μ(A)/μ(Ω).

План рассуждения и проверка понимания

Определите всё пространство равномерного выбора Ω и выберите подходящую ему меру: длину, площадь либо объём.
Найдите именно пересечение благоприятной области A с Ω, особенно если изображённая фигура выходит за границы пространства выбора.
Вычислите отношение μ(A)/μ(Ω), проверьте диапазон от 0 до 1 и убедитесь, что числитель и знаменатель имеют одну размерность.

Частая ошибка. Считать, что половина радиуса круга автоматически означает половину вероятности, или сравнивать длину с площадью только потому, что обе величины видны на одном рисунке.

Как проверить себя. Сначала зафиксируйте пространство опыта и его размерность: для равномерной точки в круге вероятность центрального круга радиуса R/2 равна отношению площадей, то есть 1/4, а не 1/2.

Схема к теме

Наглядная модель: Геометрическая вероятность

При равномерном выборе точки сравниваем длины, площади или объёмы.

Фигура: треугольник
Подписи на схеме: основание, сторона, высота
Формула: S = a · h / 2

Высота проводится перпендикулярно основанию: именно эти две величины связывает формула площади. Вывод: Подписи на чертеже должны соответствовать величинам в формуле, а не положению сторон на экране.

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Объясните своими словами, почему у равномерной точки в квадрате отдельная линия имеет вероятность ноль, но при выборе точки непосредственно на этой линии длина снова задаёт ненулевые вероятности.

В хорошем объяснении есть:

Названо пространство исходов и указано, какая мера используется именно в нём.
Пояснено, что нулевая площадь линии не означает нулевую длину в одномерной модели.

Равномерная точка вместо конечного списка

Если точка выбирается равномерно из ограниченной области, вероятность попадания в часть области равна отношению их геометрических мер. Для отрезка сравнивают длины, для плоской области — площади, для тела — объёмы.

Слово «равномерно» означает, что равные по мере части имеют одинаковую вероятность. Само наличие рисунка не обосновывает равномерность. Если точки концентрируются у центра, отношение площадей уже не описывает шансы.

Области должны быть измеримыми, а мера всего пространства — положительной и конечной. Обычное равномерное распределение на всей прямой невозможно: нельзя назначить всем равным отрезкам одинаковую положительную вероятность и сохранить сумму один.

Границы и размерность

У равномерной точки на отрезке отдельная точка имеет нулевую вероятность. У равномерной точки в квадрате линия тоже имеет нулевую площадь. Но если точку выбирают на самой линии, сравнивают уже длины: пространство опыта изменилось.

Площадь благоприятной части считают внутри всей области выбора. Если круг выходит за края квадрата, для вероятности попадания из квадрата в круг нужна площадь пересечения, а не всего круга.

Три примера

Точка равномерно выбирается на $[0,10]$ . Вероятность оказаться на $[2,5]$ равна $(5-2)/10=3/10$ .
В квадрате со стороной $4$ равномерно выбирают точку. Для центрального квадрата со стороной $2$ вероятность $2^2/4^2=1/4$ .
Точка равномерна в круге радиуса $R$ . Вероятность расстояния от центра не больше $R/2$ равна $\pi(R/2)^2/(\pi R^2)=1/4$ , а не $1/2$ . Радиус и площадь растут по-разному.

Для моделирования равномерной точки в круге нельзя просто брать радиус равномерно: это создаёт лишнюю концентрацию у центра. Правильная радиальная функция распределения $P(r\le t)=t^2/R^2$ приводит к выбору радиуса $R\sqrt U$ при равномерном $U$ на $[0,1]$ . Этот нюанс связывает геометрическую модель с преобразованием случайных величин.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

P(A)=\frac{\mu(A)}{\mu(\Omega)},\qquad 0<\mu(\Omega)<\infty

Формула словами: При равномерном выборе μ обозначает соответствующую длину, площадь или объём.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Лаборатория: Геометрическая вероятность

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.