Вероятность и статистика · Правила вероятности

Умножение вероятностей и дерево опыта

Учитываем условие на каждом шаге, перемножаем вероятности пути и складываем подходящие пути.

9 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Правило нужно для задач с несколькими шагами, особенно при выборе без возвращения. Дерево показывает, какие условные вероятности перемножать вдоль пути и какие несовместимые пути затем складывать.

Главная идея. Общее правило умножения строит вероятность последовательного пути: P(A∩B) = P(A)P(B|A). На каждом следующем шаге учитывается вся уже пройденная история, поэтому независимость не требуется.

План рассуждения и проверка понимания

Разбейте опыт на последовательные шаги и нарисуйте ветви, подписав вероятность каждого продолжения при условии истории до текущей вершины.
Для одного конечного пути перемножьте подписи его ветвей, обновляя числители и знаменатели после выбора без возвращения.
Если событию отвечают несколько листьев, сложите вероятности этих несовместимых путей и проверьте, что сумма всех листьев полного дерева равна единице.

Частая ошибка. Подставлять безусловную P(B) вместо P(B|A) в зависимом опыте или, найдя два подходящих порядка, перемножать их вероятности между собой вместо сложения.

Как проверить себя. Вдоль одного пути действует умножение условных вероятностей, между разными подходящими листьями — сложение; дерево наглядно разделяет эти две операции.

Схема к теме

Наглядная модель: Умножение вероятностей и дерево опыта

Учитываем условие на каждом шаге, перемножаем вероятности пути и складываем подходящие пути.

Умножение вероятностей и дерево опыта → умножение
Умножение вероятностей и дерево опыта → условные вероятности
Умножение вероятностей и дерево опыта → дерево
Умножение вероятностей и дерево опыта → путь
Умножение вероятностей и дерево опыта → без возвращения

Схема связывает понятие «Умножение вероятностей и дерево опыта» с его ключевыми признаками. Вывод: Свяжите определение, условия и обозначения: тогда формула станет краткой записью уже понятной идеи.

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Для урны с тремя красными и двумя синими шарами объясните два пути события «разные цвета» без возвращения и почему их вероятности нужно сначала перемножить, а потом сложить.

В хорошем объяснении есть:

Записаны пути красный–синий и синий–красный с обновлённым знаменателем 4.
Объяснено, что шаги одного пути совместны последовательно, а два пути несовместимы.

Следующий шаг зависит от пройденного

Чтобы найти вероятность «сначала $A$ , затем $B$ », умножают вероятность первого события на вероятность второго при условии первого. Общее правило умножения не требует независимости; зависимость уже учтена в $P(B\mid A)$ .

Если события независимы, условная вероятность совпадает с обычной, и формула упрощается до $P(A)P(B)$ . Именно это дополнительное условие позволяет умножать исходные вероятности без пересчёта.

Дерево как запись условий

Корень дерева — начало опыта. Из вершины выходят ветви возможных продолжений. Подпись ветви — вероятность этого продолжения с учётом всего пути до вершины. У ветвей, составляющих все взаимоисключающие продолжения, вероятности в сумме равны $1$ .

Вероятность полного пути получают умножением вероятностей его ветвей. Если событию подходят несколько разных конечных путей, их вероятности складывают: в одном выполнении опыта реализуется только один из этих путей.

Не складывайте вероятность короткого пути и его продолжения как несовместимые события: продолжение уже входит в первый случай. Сначала приведите рассматриваемые события к полным различимым путям одного дерева.

Пример без возвращения

В мешке три красных и два синих шара. После первого красного остаются два красных и два синих; после первого синего — три красных и один синий. Поэтому вероятность красного на втором шаге по этим двум ветвям равна соответственно $2/4$ и $3/4$ .

Для двух красных подряд перемножаем $(3/5)(2/4)=3/10$ . Использовать $(3/5)^2$ было бы ошибкой: состав мешка изменился. При возвращении и независимом перемешивании вероятность второго красного снова была бы $3/5$ .

Нулевые ветви

Если вероятность пути уже равна нулю, вероятность любого его продолжения тоже нулевая. Не нужно вычислять условную вероятность путём деления на ноль. Формальная запись цепочки с условными вероятностями используется только там, где соответствующие условия имеют положительную вероятность.

Три примера

Событие $A$ имеет вероятность $0{,}7$ , а $P(B\mid A)=0{,}4$ . Вероятность обоих событий $0{,}7\cdot0{,}4=0{,}28$ .
Из мешка с тремя красными и двумя синими шарами выбирают два без возвращения. Разные цвета дают пути красный–синий и синий–красный: $(3/5)(2/4)+(2/5)(3/4)=3/5$ .
Три независимые попытки имеют вероятности успеха $0{,}8$ , $0{,}6$ , $0{,}5$ . Вероятность успеха во всех трёх $0{,}8\cdot0{,}6\cdot0{,}5=0{,}24$ . Постоянство вероятности здесь не требуется: это правило умножения, но не схема Бернулли с одним $p$ .

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A),\qquad P(A)>0

Формула словами: Для двух событий вероятность совместного наступления учитывает условие A.

P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B\mid A)P(C\mid A\cap B)

Формула словами: Правило цепочки применимо, когда вероятности условий положительны.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Лаборатория: Дерево вероятностей Лаборатория: Урна с шарами Лаборатория: Карточная колода Условная вероятность Формула Бернулли

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.