Вероятность и статистика · Основы вероятности

Исход и элементарный исход

Выбираем, какие результаты различать, и не путаем отдельный исход с событием.

6 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Правильный уровень детализации исходов предотвращает ошибки в дробях вероятности: числитель и знаменатель должны считать объекты одного типа, например обе последовательности или оба неупорядоченных набора.

Главная идея. Элементарный исход — один результат, который выбранная модель различает как отдельный; пространство Ω содержит все такие исходы, а событие A объединяет те из них, которые удовлетворяют условию.

План рассуждения и проверка понимания

Опишите физический опыт и решите, какие признаки результата модель должна сохранять, включая порядок, цвет, число или ранг.
Перечислите либо задайте правилом все элементарные исходы Ω и проверьте, что они взаимно исключаются и покрывают каждый допустимый результат.
Запишите событие как подмножество Ω и только после этого назначайте веса или считайте равновозможные подходящие исходы.

Частая ошибка. Считать крупные названия вроде «один орёл» элементарными и делить их число на количество возможных значений, хотя за одним названием скрываются ОР и РО.

Как проверить себя. Сначала выберите атомарное описание одинаковой подробности: для двух монет это четыре последовательности ОО, ОР, РО, РР; событие одного орла объединяет две из них.

Схема к теме

Наглядная модель: Исход и элементарный исход

Выбираем, какие результаты различать, и не путаем отдельный исход с событием.

Исход и элементарный исход → исход
Исход и элементарный исход → элементарный исход
Исход и элементарный исход → результат
Исход и элементарный исход → кодирование

Схема связывает понятие «Исход и элементарный исход» с его ключевыми признаками. Вывод: Свяжите определение, условия и обозначения: тогда формула станет краткой записью уже понятной идеи.

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Объясните, почему значение «один орёл» является событием, а последовательность ОР — элементарным исходом в модели двух монет, и как изменится модель при отказе учитывать порядок.

В хорошем объяснении есть:

Исход отделён от множества исходов, удовлетворяющих условию события.
Указано, что смена уровня описания меняет Ω и может изменить равновозможность.

Насколько подробно записан результат

Элементарный исход — один из результатов, которые модель различает как отдельные. Его обозначают $\omega$ , а набор всех исходов — $\Omega$ . Слово «элементарный» относится к выбранному описанию, а не к неделимости физического мира.

При броске кубика можно записывать число верхней грани: исходов шесть. Можно записывать только чётность: исходов два. Во второй модели уже нельзя задать событие «выпала четвёрка», потому что нужная информация потеряна.

Если случайно выбирают карту, исходом может быть конкретная карта либо только её масть. Выбор уровня подробности должен позволять ответить на поставленный вопрос. При переходе к более грубым исходам их вероятности складываются.

Исход и событие

Событие — проверяемое условие для исхода. «Выпала шестёрка» содержит один исход шестигранной модели, «выпало чётное» — три. Событие из одного исхода называют элементарным событием; не всякое событие элементарно.

В последовательном опыте порядок часто входит в исход. Два броска монеты имеют исходы ОО, ОР, РО, РР. Если записывается лишь число орлов, исходов становится три, но они не равновероятны: один орёл объединяет два первоначальных варианта.

Ошибки подсчёта

Нельзя смешивать разные уровни описания в одной дроби. Если числитель считает конкретные последовательности, знаменатель должен считать последовательности того же типа. Вероятность крупного исхода не определяется только его коротким названием.

Наблюдавшийся результат также не ограничивает пространство возможного: одна серия могла не содержать редкий исход, хотя он допустим в модели.

Три примера

У броска кубика событие «больше пяти» содержит ровно исход $6$ .
У двух независимых честных монет число орлов $1$ имеет вероятность $2/4=1/2$ , потому что подходят ОР и РО.
При равномерном выборе из $52$ карт событие «червовая масть» объединяет $13$ конкретных карт. Его вероятность $13/52=1/4$ ; после записи одной масти ранг восстановить нельзя.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

\omega\in\Omega,\qquad A\subseteq\Omega

Формула словами: ω — один исход выбранной модели; A — событие, которое может содержать несколько исходов.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Лаборатория: Игральный кубик Лаборатория: Карточная колода

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.