Вероятность и статистика · Статистика и данные

Дисперсия набора и исправленная оценка

Почему встречаются делители n и n−1 и какую величину вычисляет каждая формула.

6 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Различение формул защищает от механического выбора настройки калькулятора. Оно показывает, когда данные рассматриваются как вся совокупность, а когда по ним оценивают параметр более широкой модели.

Главная идея. Одна сумма квадратов отклонений решает две задачи: деление на n описывает разброс имеющегося набора, а деление на n−1 даёт исправленную оценку неизвестной дисперсии по выборке.

План рассуждения и проверка понимания

Вычислите выборочное среднее, затем для каждого наблюдения найдите отклонение и квадрат, после чего сложите квадраты.
Выберите делитель по цели: n для описательной дисперсии данных или n−1 для исправленной оценки при n ≥ 2.
Проверьте неотрицательность, квадратные единицы и подпишите использованное соглашение, особенно при сравнении с программой.

Частая ошибка. Считать, что в любой статистической задаче обязательно делить на n−1, или вычислять исправленную оценку для единственного наблюдения, получая деление на ноль.

Как проверить себя. Делитель определяется вопросом: описываем данный набор — используем n; оцениваем дисперсию породившей совокупности — часто n−1, причём требуется хотя бы два наблюдения.

Схема к теме

Наглядная модель: Дисперсия набора и исправленная оценка

Почему встречаются делители n и n−1 и какую величину вычисляет каждая формула.

A: 3 наблюдения — ниже общего уровня
B: 7 наблюдения — наибольшее значение
C: 5 наблюдения — между крайними

Одинаковая шкала помогает сравнить значения; точный вывод делают по числам, а не только по высоте столбиков. Вывод: Перед вычислением статистики проверьте шкалу, единицы и состав набора данных.

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Для данных 1 и 3 объясните общий числитель 2 и два разных ответа 1 и 2 при делителях n и n−1, указав, на какие вопросы отвечают эти величины.

В хорошем объяснении есть:

Найдено среднее 2 и квадраты двух отклонений по единице.
Описательная дисперсия набора отделена от исправленной оценки параметра.

Один числитель, две задачи

Для числового набора вычисляют среднее $\bar x$ , отклонения от него и сумму квадратов отклонений. Деление этой суммы на $n$ даёт описательную дисперсию набора: средний квадрат расстояния наблюдений от их среднего. Она определена и для одного наблюдения, когда равна нулю.

Если набор — случайная выборка, по нему могут оценивать неизвестную дисперсию всей модели. Для независимых одинаково распределённых наблюдений с конечной дисперсией делитель $n$ даёт в среднем заниженную оценку. Поправка $n/(n-1)$ приводит к исправленной оценке $S^2$ с делителем $n-1$ .

Почему появляется n−1

Среднее уже вычислено из тех же данных. После его вычитания отклонения суммируются в ноль: последнее определяется остальными. Строгое обоснование поправки даёт равенство ожидаемой суммы квадратов $(n-1)\sigma^2$ . Это не правило «в статистике всегда делить на $n-1$ »: выбор зависит от цели, а школьное описание набора использует $n$ .

Три примера

Для данных 1, 3 среднее 2, сумма квадратов 2. Описательная дисперсия $v=2/2=1$ , исправленная оценка $S^2=2/1=2$ .
Для 2, 4, 6 среднее 4, сумма квадратов 8. Получаем $v=8/3$ , а $S^2=4$ .
Для одного значения 9 описательная дисперсия ноль. Исправленная оценка не определена: делитель $n-1=0$ , и информации о разбросе модели недостаточно.

Предосторожности

Обе величины неотрицательны и измеряются в квадратных единицах. Несмещённость $S^2$ не переносится автоматически на $\sqrt{S^2}$ как оценку стандартного отклонения. Зависимые наблюдения, неравные веса и сложный план выборки требуют отдельного анализа. Всегда подписывайте выбранный делитель в ответе и проверяйте настройку вычислителя.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

v=\frac1n\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2

Формула словами: Описательный разброс данного непустого набора; делитель n.

S^2=\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2

Формула словами: Исправленная оценка неизвестной дисперсии; n ≥ 2, несмещённость требует i.i.d. наблюдений с конечной дисперсией.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Описательная статистика Дисперсия

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.