Вероятность и статистика · Повторные испытания

Успехи в заданном диапазоне

Вероятности «не менее», «не более» и «от a до b» для числа успехов.

6 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Так решаются вопросы «не менее», «не более» и «от a до b включительно» без путаницы границ. Выбор дополнения сокращает вычисления и делает смысл события прозрачнее.

Главная идея. Для дискретного числа успехов словесный диапазон переводится в целые значения k, а вероятность равна сумме биномиальных масс. Иногда короче посчитать противоположный хвост и вычесть его из единицы.

План рассуждения и проверка понимания

Переведите слова в точное неравенство для целого X: различите «не менее трёх» X≥3 и «более трёх» X≥4.
Запишите допустимые k в пределах 0…n и выберите прямую сумму либо дополнение с меньшим числом слагаемых.
Сложите несовместимые вероятности X=k, проверьте границы и убедитесь, что расширение диапазона не уменьшает итог.

Частая ошибка. Потерять включённую границу и считать «не менее двух» тем же событием, что «более двух», хотя первое дополнительно содержит всю вероятность X = 2.

Как проверить себя. До формул выпишите целые значения: при n = 5 первое событие содержит 2,3,4,5, второе — 3,4,5; разница равна P(X=2).

Схема к теме

Наглядная модель: Успехи в заданном диапазоне

Вероятности «не менее», «не более» и «от a до b» для числа успехов.

Диапазон от -3 до 5
0: точка отсчёта
3: наблюдаемое значение
Промежуток от 0 (граница включена) до 3 (граница включена) — расстояние между значениями

Числовая прямая позволяет одновременно видеть порядок значений и расстояние между ними. Вывод: Сначала отметьте границы и точки, затем переводите рисунок в неравенство или вычисление.

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Объясните, почему для пяти честных бросков вероятность «не более четырёх орлов» удобнее считать как 1−P(X=5), и почему отдельная точка X=5 имеет ненулевую массу.

В хорошем объяснении есть:

Дополнение события X≤4 распознано как единственное значение X=5.
Получено 1−1/32 и отмечена дискретность числа успехов.

Перевод слов на числа

Число успехов целое. «Не менее трёх» означает $X\ge3$ , а «более трёх» — $X\ge4$ . «От двух до четырёх включительно» означает три отдельных значения: 2, 3 и 4. События $X=k$ несовместны, поэтому их вероятности складываются.

В схеме Бернулли каждое слагаемое вычисляют по биномиальной формуле. Для нецелого интервала нижнюю границу округляют вверх, верхнюю — вниз, а невозможные значения вне $0,\ldots,n$ исключают. Если целых допустимых значений не осталось, вероятность нулевая.

Когда удобнее дополнение

Сумма большого числа слагаемых бывает лишней: $P(X\ge2)=1-P(X=0)-P(X=1)$ . Сначала выберите событие с меньшим числом значений. При вычислении очень маленьких хвостовых вероятностей вычитание почти единицы из единицы может терять численную точность; надёжные программы учитывают это отдельно.

Три примера

В четырёх бросках честной монеты от одного до двух орлов: $(\binom41+\binom42)/16=(4+6)/16=5/8$ .
В трёх испытаниях с $p=0.2$ не менее двух успехов: $3\cdot0.2^2\cdot0.8+0.2^3=0.104$ .
В пяти бросках честной монеты не более четырёх орлов: $1-P(X=5)=1-1/32=31/32$ . Пять отдельных вероятностей вычислять не нужно.

Проверка и ошибки

Вероятность диапазона не меньше вероятности каждого значения внутри него и не больше единицы. Увеличение диапазона не может уменьшить результат. Включение границы существенно: разница между «не менее двух» и «более двух» равна $P(X=2)$ , а не нулю. Для непрерывных величин отдельная точка может иметь нулевую вероятность, но число успехов дискретно.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

P(a\le X\le b)=\sum_{k=a}^b\binom nkp^k(1-p)^{n-k}

Формула словами: Для биномиального X и целых границ 0 ≤ a ≤ b ≤ n.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Лаборатория: Схема Бернулли Формула Бернулли Хотя бы один успех Биномиальные вероятности

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.