Вероятность и статистика · Распределения

Распределение Бернулли

Индикатор одного события: два значения, среднее, разброс и переход к серии испытаний.

8 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Эта модель нужна, чтобы отделить интересующее событие от всех деталей опыта и получить строительный блок для биномиальной схемы, выборочной доли и суммы индикаторов.

Главная идея. Распределение Бернулли превращает одно выбранное событие в индикатор: X равен 1, если событие произошло, и 0 иначе. Параметр p — вероятность единицы, поэтому E[X] = p, а Var(X) = p(1 − p).

План рассуждения и проверка понимания

Сначала точно назовите событие, которое считается успехом, и помните: слово «успех» не обязано означать хороший результат.
Запишите закон только в двух точках: P(X = 1) = p и P(X = 0) = 1 − p; промежуточных значений у индикатора нет.
Найдите среднее через 0·(1 − p) + 1·p и используйте тождество X² = X, чтобы получить дисперсию p(1 − p).
Проверьте крайние случаи p = 0 и p = 1: величина становится постоянной, а её дисперсия должна обращаться в ноль.

Частая ошибка. Принимать среднее p за возможный результат одного опыта или считать, что для одного индикатора уже требуется предположение о независимости.

Как проверить себя. Отдельная реализация равна только 0 или 1, а p описывает долгосрочный средний вес единиц. Независимость появляется лишь при совместном рассмотрении нескольких индикаторов.

Схема к теме

Наглядная модель: Распределение Бернулли

Индикатор одного события: два значения, среднее, разброс и переход к серии испытаний.

Распределение Бернулли → Бернулли
Распределение Бернулли → индикатор
Распределение Бернулли → успех
Распределение Бернулли → два исхода

Схема связывает понятие «Распределение Бернулли» с его ключевыми признаками. Вывод: Свяжите определение, условия и обозначения: тогда формула станет краткой записью уже понятной идеи.

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Объясните на примере события «на кубике выпало чётное», почему индикатор имеет среднее 1/2, хотя никогда не принимает значение 1/2.

В хорошем объяснении есть:

Названы оба значения индикатора и их вероятности.
Различены результат отдельного опыта и математическое ожидание.
Пояснено, почему дисперсия при p = 1/2 равна 1/4.

Один вопрос с ответом «да» или «нет»

Пусть в опыте нас интересует событие A: заказ доставлен вовремя, семя проросло, выпал орёл. Запишем X = 1, когда A произошло, и X = 0 в противоположном случае. Полученная величина называется индикатором события и имеет распределение Бернулли с параметром $p=P(A)$ .

У самого опыта может быть много исходов. Например, у кубика их шесть, но индикатор «выпало чётное» всё равно принимает только два значения. Слово «успех» обозначает выбранное событие, а не обязательно что-то хорошее.

Параметр и закон

Допускается $0\le p\le1$ . При p = 0 величина всегда нулевая, при p = 1 — всегда единица: это корректные вырожденные законы. Для остальных p две массы равны 1 − p и p. Формулу со степенями удобнее применять внутри 0 < p < 1; на концах следует прямо пользоваться двумя вероятностями, не споря об обозначении нулевой степени.

Функция распределения равна 0 при x < 0, затем 1 − p при $0\le x<1$ , затем 1. Между 0 и 1 нет дополнительных исходов: горизонтальная часть CDF не означает положительной вероятности дробного результата.

Почему среднее равно p

По определению среднего складываем значение, умноженное на его вероятность: $0(1-p)+1p=p$ . Также $X^2=X$ , поэтому второй момент равен p и дисперсия равна $p-p^2$ . Разброс максимален при p = 1/2, а в вырожденных случаях исчезает.

Три примера

Индикатор чётного числа. На честном кубике чётные 2, 4, 6 составляют три из шести исходов. Значит, p = 1/2, P(X = 0) = 1/2, среднее 1/2 и дисперсия 1/4. Ответ X = 1/2 в отдельном опыте невозможен: среднее не обязано принадлежать носителю.
Проверка одного изделия. Вероятность дефекта по условной модели равна 0,08. Если успехом назван именно дефект, то P(X = 1) = 0,08, P(X = 0) = 0,92. Дисперсия равна 0,08 · 0,92 = 0,0736. Переназвав успехом годность, получим параметр 0,92, но тот же разброс.
Награда за событие. Выплата Y равна 50X − 10, где p = 0,3. При успехе выплачивается 40, иначе −10. Линейность даёт E(Y) = 50 · 0,3 − 10 = 5. Дисперсия равна 50² · 0,3 · 0,7 = 525: добавление постоянной меняет среднее, но не разброс.

Условия и типичные ошибки

Для одного индикатора не требуется говорить о независимости: сравнивать пока не с чем. Независимость становится существенной, когда складывают несколько индикаторов и хотят получить биномиальное распределение. Одинаковые отдельные вероятности ещё не гарантируют независимости.

В исследователе измените p от 0 до 1. Масса перемещается между двумя столбиками, а не проходит через промежуточные значения X. Затем с одним seed создайте выборку: её среднее совпадает с долей единиц. Повторите опыт с другим seed и сравните отклонение частоты от p. Модель задаёт вероятность; короткая серия не обязана воспроизводить её точно.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

P(X=1)=p,\quad P(X=0)=1-p

Формула словами: Вероятности индикатора; 0 ≤ p ≤ 1.

\mathbb E X=p,\quad \operatorname{Var}(X)=p(1-p)

Формула словами: Среднее и дисперсия одного индикатора.

Исследуйте модель

Параметры модели

Бернулли

Дискретное

X = 1 означает успех, X = 0 — неуспех.

P(X=k)=p^k(1-p)^{1-k},\quad k=0,1

Пределы полей — вычислительные ограничения исследователя, а не область существования математического закона. Носитель: целые значения в [0; 1].

Форма распределения

Высота столбика — вероятность ровно одного целого значения. Сумма всех вероятностей на полном носителе равна 1.

За пределами окна: слева 0 %, справа 0 %. Ось ограничена окном, но CDF, интервалы и генератор используют весь носитель. По умолчанию окно берётся по квантилям 0,005 и 0,995; для конечного непрерывного носителя — весь носитель. Дискретный график ограничен 200 значениями.

Числовая таблица графика (2 точек)

x	P(X=x)
0	0,6
1	0,4

Точка и интервал

Точка xИнтервал: левая границаИнтервал: правая граница

P(X = 0): 60 %
P(X ≤ 0): 60 %
P(X > 0): 40 %
P(0 ≤ X ≤ 1): 100 %

Границы интервала включены. Для дискретного закона учитываются только целые точки внутри него; для непрерывного включение концов не меняет вероятность.

Что предсказывает модель

Математическое ожидание E(X): 0,4
Дисперсия D(X): 0,24

Ожидание — характеристика распределения, а не обещанный результат одного опыта. Конечная выборка имеет своё среднее даже тогда, когда теоретическое среднее не существует.

CDF и правый хвост вычисляются отдельно, чтобы сохранять малые вероятности. Значения ниже предела чисел двойной точности могут округляться до 0; квантили у границ также ограничены машинной точностью.

От модели к данным

Сгенерировать выборку

До 100 000 наблюдений

Независимые псевдослучайные наблюдения в отдельном рабочем потоке. Один seed и те же параметры воспроизводят тот же ряд. Это учебный, не криптографический генератор.

Размер выборки

Повторить результат по ключу

Seed — начальное значениеПустое поле — новая случайная серия. Для точного повтора укажите ключ из сохранённых результатов и те же параметры.

Опыт оживает на весь экран

Кнопка «Сгенерировать» создаёт весь указанный объём. Отдельное наблюдение показывает один результат с анимацией. CSV содержит всю показанную выборку.

Выборка ещё не создана.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Лаборатория: Монета Вероятность события

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.

NIST: Binomial Distribution — случай n = 1 (откроется в новой вкладке)