Умблик
Вероятностные модели
Все распределения
Вероятность и статистика · Распределения

Бета-распределение

Модель долей на [0,1], два параметра формы, граничные особенности и сравнение концентрации.

9 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Оно полезно для моделирования неизвестных долей и вероятностей, когда важны жёсткие границы 0 и 1, возможная асимметрия и отдельный контроль формы у концов отрезка.

Главная идея. Бета-распределение задаёт непрерывную случайную долю на [0,1]. Отношение α к β определяет положение центра α/(α + β), а сумма α + β управляет концентрацией вокруг этого центра.

План рассуждения и проверка понимания
  1. Убедитесь, что α > 0 и β > 0, а изучаемая величина действительно лежит между нулём и единицей или предварительно приведена к этому отрезку.
  2. По значениям α и β определите форму: равные параметры дают симметрию, параметры меньше единицы усиливают массу возле границ.
  3. Вычислите E[X] = α/(α + β), затем отдельно оцените концентрацию по дисперсии, не пытаясь восстановить два параметра из одного среднего.
  4. Для вероятности интервала используйте разность значений регуляризованной неполной бета-функции, а не высоту плотности в одной точке.

Частая ошибка. Считать бесконечную высоту плотности у 0 или 1 точечной вероятностью либо полагать, что одинаковое среднее означает одинаковую форму закона.

Как проверить себя. У непрерывного бета-закона вероятность каждой границы равна нулю. Например, Beta(2,2) и Beta(20,20) имеют центр 1/2, но резко различаются по дисперсии.

Схема к теме

Наглядная модель: Бета-распределение

Модель долей на [0,1], два параметра формы, граничные особенности и сравнение концентрации.

Наглядная модель: Бета-распределениеМодель долей на [0,1], два параметра формы, граничные особенности и сравнение концентрации.бетадолиформаограниченныйносительБета-распределение
  • Бета-распределение → бета
  • Бета-распределение → доли
  • Бета-распределение → форма
  • Бета-распределение → ограниченный носитель
Схема связывает понятие «Бета-распределение» с его ключевыми признаками. Вывод: Свяжите определение, условия и обозначения: тогда формула станет краткой записью уже понятной идеи.
Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Сравните Beta(2,2) и Beta(20,20): объясните, что у них совпадает, что различается и почему одного среднего недостаточно для выбора модели.

В хорошем объяснении есть:

  • У обеих моделей найдено среднее 1/2.
  • Сумма параметров связана с концентрацией.
  • Плотность отделена от вероятности отдельной точки.

Доли и вероятности как случайные величины

Бета-распределение — непрерывный закон на отрезке [0,1]. Он удобен для моделирования долей и других ограниченных величин. Здесь α > 0 и β > 0 — два параметра формы. Буква β не означает интенсивность гамма-закона: смысл определяется конкретной моделью.

Стандартный закон не имеет дополнительных параметров сдвига и масштаба. Если физическая величина лежит на [a,b], сначала можно построить X на [0,1], затем Y = a + (b − a)X. Изменение масштаба требует соответствующего преобразования плотности.

Как параметры меняют форму

При α = β = 1 плотность постоянна и получается U(0,1). При равных параметрах закон симметричен относительно 1/2. Если оба параметра больше 1, плотность имеет внутренний максимум; если оба меньше 1, она растёт к обоим концам, образуя U-образную форму.

При α < 1 плотность неограниченна у 0, при β < 1 — у 1. При α = 1 её правый предел у нуля равен β, а при β = 1 левый предел у единицы равен α. Ни в одном из этих случаев бесконечная плотность не создаёт точечной массы: вероятность каждого конца равна нулю.

Три примера

  1. Равномерный случай. Для Beta(1,1) вероятность [0,2; 0,7] равна длине 0,5. Среднее 1/2, дисперсия 1/12. Это проверочный пример: формулы бета-закона должны согласоваться с равномерной моделью.

  2. Полиномиальная плотность. Для Beta(2,3) нормирующий множитель равен 12, поэтому f(x) = 12x(1 − x)². Интегрирование даёт F(x) = 6x² − 8x³ + 3x⁴. В точке 0,4 получаем F(0,4) = 0,5248, а плотность f(0,4) = 1,728. Разные ответы описывают разные величины.

  3. Одинаковое среднее, разная концентрация. Beta(2,2) и Beta(20,20) обе имеют среднее 1/2. Дисперсии равны соответственно 1/20 = 0,05 и 1/164 ≈ 0,00609756. Второй закон существенно сильнее сосредоточен около середины, хотя его среднее не изменилось.

Среднее и интерпретация

Среднее α/(α + β) определяет центр в смысле первого момента, но само по себе не задаёт форму. Сумма α + β влияет на концентрацию при фиксированном отношении. Нельзя восстановить оба параметра по одному среднему без дополнительного предположения.

Бета-распределение часто используют для неопределённой вероятности успеха в байесовской модели. Это другой уровень случайности: вероятность p моделируется распределением, а исход следующего испытания условно на p остаётся бернуллиевским. Выбранное распределение для p требует обоснования; оно не следует автоматически из того, что величина называется вероятностью.

Исследование и численная точность

Проверьте пары (1,1), (2,3), (0,5; 0,5). Сравните PDF и CDF и рассчитайте вероятность небольшого интервала у границы. У бета-закона нет хвостов вне [0,1], но при маленьких параметрах значительная вероятность сосредоточена в очень узких окрестностях концов.

Машинные числа конечной точности не различают 1 и число, отличающееся от него слишком мало. Поэтому крайние квантили в таких настройках могут округляться к границе. Явное предупреждение о сингулярности и табличные вероятности помогают не принимать гладкость рисунка за математический факт.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

f(x)=xα−1(1−x)β−1B(α,β),0<x<1f(x)=\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)},\quad 0<x<1

Формула словами: Оба параметра формы строго положительны; B нормирует плотность.

EX=αα+β,D(X)=αβ(α+β)2(α+β+1)\mathbb E X=\frac\alpha{\alpha+\beta},\quad D(X)=\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}

Формула словами: Среднее и дисперсия стандартного бета-закона.

F(x)=Ix(α,β),B(α,β)=Γ(α)Γ(β)Γ(α+β)F(x)=I_x(\alpha,\beta),\quad B(\alpha,\beta)=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}

Формула словами: CDF — регуляризованная неполная бета-функция.

Исследуйте модель

Параметры модели

Бета

Непрерывное

Носитель [0,1]. α и β — параметры формы, не интенсивность и не масштаб.

f(x)=xα−1(1−x)β−1B(α,β)f(x)=\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}

Пределы полей — вычислительные ограничения исследователя, а не область существования математического закона. Носитель: [0; 1].

Форма распределения

Бета: плотность f(x). Окно от 0 до 1. Числовая таблица расположена ниже.00,6881281,3762562,0643842,75251200,250,50,751f(x) · плотностьx · значение

Высота кривой — плотность, не вероятность точки. Вероятность интервала равна площади под кривой; плотность может быть больше 1.

За пределами окна: слева 0 %, справа 0 %. Ось ограничена окном, но CDF, интервалы и генератор используют весь носитель. По умолчанию окно берётся по квантилям 0,005 и 0,995; для конечного непрерывного носителя — весь носитель. Дискретный график ограничен 200 значениями.

Числовая таблица графика (241 точек)
xf(x)
00
0,0041670,12293
0,0083330,24177
0,01250,356599
0,0166670,467491
0,0208330,574522
0,0250,677766
0,0291670,777297
0,0333330,873186
0,03750,965507
0,0416671,05433
0,0458331,139724
0,051,221759
0,0541671,300504
0,0583331,376027
0,06251,448393
0,0666671,517669
0,0708331,583921
0,0751,647212
0,0791671,707606
0,0833331,765167
0,08751,819956
0,0916671,872034
0,0958331,921462
0,11,9683
0,1041672,012607
0,1083332,05444
0,11252,093858
0,1166672,130917
0,1208332,165673
0,1252,198181
0,1291672,228496
0,1333332,256672
0,13752,282761
0,1416672,306815
0,1458332,328888
0,152,349028
0,1541672,367287
0,1583332,383714
0,16252,398357
0,1666672,411265
0,1708332,422486
0,1752,432065
0,1791672,440048
0,1833332,446482
0,18752,45141
0,1916672,454877
0,1958332,456926
0,22,4576
0,2041672,45694
0,2083332,454988
0,21252,451785
0,2166672,447371
0,2208332,441785
0,2252,435065
0,2291672,427251
0,2333332,418379
0,23752,408487
0,2416672,39761
0,2458332,385785
0,252,373047
0,2541672,359429
0,2583332,344967
0,26252,329693
0,2666672,31364
0,2708332,296839
0,2752,279324
0,2791672,261123
0,2833332,242269
0,28752,222791
0,2916672,202717
0,2958332,182078
0,32,1609
0,3041672,139212
0,3083332,11704
0,31252,094412
0,3166672,071353
0,3208332,047888
0,3252,024043
0,3291671,999842
0,3333331,975309
0,33751,950467
0,3416671,925339
0,3458331,899948
0,351,874316
0,3541671,848463
0,3583331,822411
0,36251,796181
0,3666671,769791
0,3708331,743263
0,3751,716614
0,3791671,689863
0,3833331,663029
0,38751,636128
0,3916671,609179
0,3958331,582197
0,41,5552
0,4041671,528203
0,4083331,501221
0,41251,474269
0,4166671,447362
0,4208331,420514
0,4251,393739
0,4291671,36705
0,4333331,34046
0,43751,313982
0,4416671,287627
0,4458331,261407
0,451,235334
0,4541671,209419
0,4583331,183671
0,46251,158102
0,4666671,132721
0,4708331,107537
0,4751,08256
0,4791671,057798
0,4833331,03326
0,48751,008954
0,4916670,984887
0,4958330,961067
0,50,9375
0,5041670,914194
0,5083330,891154
0,51250,868388
0,5166670,845899
0,5208330,823695
0,5250,80178
0,5291670,780158
0,5333330,758835
0,53750,737814
0,5416670,717099
0,5458330,696694
0,550,676603
0,5541670,656828
0,5583330,637372
0,56250,618238
0,5666670,599428
0,5708330,580944
0,5750,562788
0,5791670,544961
0,5833330,527464
0,58750,510299
0,5916670,493467
0,5958330,476967
0,60,4608
0,6041670,444967
0,6083330,429467
0,61250,414299
0,6166670,399464
0,6208330,384961
0,6250,370789
0,6291670,356946
0,6333330,343431
0,63750,330243
0,6416670,31738
0,6458330,30484
0,650,292622
0,6541670,280722
0,6583330,26914
0,66250,257871
0,6666670,246914
0,6708330,236265
0,6750,225922
0,6791670,215882
0,6833330,20614
0,68750,196695
0,6916670,187543
0,6958330,178679
0,70,1701
0,7041670,161802
0,7083330,153782
0,71250,146035
0,7166670,138557
0,7208330,131344
0,7250,124391
0,7291670,117695
0,7333330,111249
0,73750,105051
0,7416670,099095
0,7458330,093376
0,750,087891
0,7541670,082633
0,7583330,077598
0,76250,072781
0,7666670,068177
0,7708330,06378
0,7750,059587
0,7791670,055592
0,7833330,051789
0,78750,048173
0,7916670,04474
0,7958330,041484
0,80,0384
0,8041670,035482
0,8083330,032726
0,81250,030127
0,8166670,027678
0,8208330,025375
0,8250,023213
0,8291670,021186
0,8333330,01929
0,83750,017519
0,8416670,015869
0,8458330,014334
0,850,012909
0,8541670,01159
0,8583330,010372
0,86250,009249
0,8666670,008217
0,8708330,007272
0,8750,006409
0,8791670,005623
0,8833330,004909
0,88750,004265
0,8916670,003684
0,8958330,003164
0,90,0027
0,9041670,002288
0,9083330,001924
0,91250,001605
0,9166670,001326
0,9208330,001085
0,9250,000878
0,9291670,000702
0,9333330,000553
0,93750,000429
0,9416670,000327
0,9458330,000244
0,950,000178
0,9541670,000126
0,9583338,66549e-5
0,96255,71014e-5
0,9666673,58025e-5
0,9708332,10772e-5
0,9751,14258e-5
0,9791675,53367e-6
0,9833332,27623e-6
0,98757,23267e-7
0,9916671,43470e-7
0,9958339,00457e-9
10

Точка и интервал

P(X = 0,26445)
0 %
Плотность f(0,26445)
2,322275
P(X ≤ 0,26445)
50 %
P(X > 0,26445)
50 %
P(0 ≤ X ≤ 1)
100 %

Границы интервала включены. Для дискретного закона учитываются только целые точки внутри него; для непрерывного включение концов не меняет вероятность.

Что предсказывает модель

Математическое ожидание E(X)
0,285714
Дисперсия D(X)
0,02551

Ожидание — характеристика распределения, а не обещанный результат одного опыта. Конечная выборка имеет своё среднее даже тогда, когда теоретическое среднее не существует.

CDF и правый хвост вычисляются отдельно, чтобы сохранять малые вероятности. Значения ниже предела чисел двойной точности могут округляться до 0; квантили у границ также ограничены машинной точностью.

От модели к данным

Сгенерировать выборку

До 100 000 наблюдений

Независимые псевдослучайные наблюдения в отдельном рабочем потоке. Один seed и те же параметры воспроизводят тот же ряд. Это учебный, не криптографический генератор.

Повторить результат по ключу
Опыт оживает на весь экран

Кнопка «Сгенерировать» создаёт весь указанный объём. Отдельное наблюдение показывает один результат с анимацией. CSV содержит всю показанную выборку.

Выборка ещё не создана.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Описательная статистика

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Открываем задание…

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.